摘要：轨迹方程的很多题目可以用向量共线的充要条件来探求解.这样可简化分类讨论和运算繁琐.也弥补这两种题缺陷.使解题优化.用向量共线的充要条件解决求轨迹问题.最理想的情形是题设中有“向量的数量积 “平行 即共线.向量成为我们处理问题的基本工具. 例3.如图,过A,斜率为k的直线与抛物线C:交于P.Q两点.若曲线C的焦点F与P.Q.R三点按图中顺序构成平行四边形.求点R的轨迹方程. 分析:本题若不用向量法.一般采用联立方程.考虑判别式.结合韦达定理的方法.尽管思路清晰.但计算量大.且技巧性强.不易掌握.而利用向量法解答.简单明快.容易接受. 解:设P.Q.R三点坐标分别为. ..则有.... 由A.P.Q三点共线知://.. .. 由四边形PFQR为平行四边可知:. ,. 又. 点R的轨迹方程是 例4.已知椭圆.直线.P是上一点.射线OP交椭圆于R.又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=.求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线? 分析:本题我们注意到点Q在OP上.于是存在..共线.因此可借助两个非零向量共线的充要条件.巧设参数.转化已知条件|OQ||OP|=为.使得消元过程异常简捷.向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点 解析:设(其中.不同时为0)由非零向量..共线.可设.. 则,,分别代入椭圆方程.直线方程得: (1) (2) 由||||=得: . 即 (3) 由消去.整理得: (其中.不同时为0) 所以点Q的轨迹是以(1.1)为中心.长.短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆.

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