(1)由，得，∴当h↑，v↓

(2)由G=mω²(r+h)，得ω=，∴当h↑，ω↓

(3)由G，得T= ∴当h↑，T↑

12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。

(1)可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为、，试求(用、表示)；

(2)求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T和质量之间的关系式；

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

()

(1)设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有

设A、B之间的距离为，又，由上述各式得

　①　　

由万有引力定律，有，将①代入得　　

令　　 比较可得 ②

(2)由牛顿第二定律，有 ③

又可见星A的轨道半径　 ④

由②③④式解得　 ⑤

(3)将代入⑤式，得

代入数据得 ⑥

设，将其代入⑥式，得 ⑦

可见，的值随的增大而增大，试令，得

　⑧

若使⑦式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于2，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

第二单元　专题：人造天体的运动

　 基础知识

11．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s²，空气阻力不计)

⑴求该星球表面附近的重力加速度g^/；

⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R_星:R_地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M_星:M_地。

解：⑴

故：

⑵，所以

可解得：M_星:M_地＝1´1²:5´4²＝1:80，

10．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为G)

[解析]：设两颗恒星的质量分别为m₁、m₂，做圆周运动的半径分别为r₁、r₂，角速度分别为ω₁、ω₂。根据题意有

　　　　　　　　 ω₁＝ω₂ ①

 r₁+r₂＝r　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

　　　　　　　　 G　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

G　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　④

联立以上各式解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　⑤

根据解速度与周期的关系知

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

联立③⑤⑥式解得

9. 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T₁，地球的自转周期T₂，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

同步卫星绕地球作圆周运动，由得

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。

⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

(13分)

(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。

正确的解法和结果是：　　　　　　　①

得　　　　　　　　　　　　　　②

(2)方法一：对月球绕地球作圆周运动，由得　③

　方法二：在地面重力近似等于万有引力，由得　　 ④

8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为B

　 A．1.2亿千米　　　　 B．2.3亿千米

　 C．4.6亿千米　　　　 D．6.9亿千米

7．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍 ，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是Bc

A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天

B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s

C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大

D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小

6．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为B

A．0.5　 　 B．2.　 　　　　 　

C．3.2　 　 D．4

5．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出C

　　 A．行星的质量　　　　 B．行星的半径

　　 C．恒星的质量　　　　 D．恒星的半径

4．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是BC

A．地球的向心力变为缩小前的一半

B．地球的向心力变为缩小前的

C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半