例2  求函数的值域

错解:令则

     ,         (1)

关于t的方程(1)应有实数解,得,即

原因分析:应用 只保证方程(1)在实数范围 内有解,而本题要求方程(1)是在[-1,1]内有解。上面解法忽略了。

正解:令则[-1,1],

当时[-1,1];

 当时,=0      (2)

 设若在[-1,1]内有一解,则且若(2)在[-1,1]有两解,则得综上所述为求值域

对策:在初中经常说错的话是“某方程无解”正确的说法是“方程无实数解”,在高中方程的解的情况常与范围有关,特别是隐含的范围,求值域若用判别式法,要考虑方程在什么范围内有解。

例3  求函数的值域

错解:由 得

      (*)

 ,当  时,   不满足原方程 ,取不到.

原因分析:(1)判别式大于或等于零只能使(*)有实数解,而原方程 要求有大于1的实数解。

(2)对进行平方时产生了增根。与不同解。

正确解法:令  则

时

对策:求值域一般跟据函数的类型,选用不同的求法,判别式法常用在如的类型 。含有根号的函数一般用换元法。

三  判定函数奇偶性中的错误

例4 :判断函数的奇偶性

错解:而是奇函数,是奇函数。

原因分析:一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称。若不对称,则为非奇非偶函数。上题错解是因为:一是不考虑定义域 ,二是原函数与不是同一函数。

正确解法:由得的定义域 为{∣或}它不是关于原点对称的区间,所以为非奇非偶函数

防错对策:函数的奇偶性是在整个定义域内的性质,判断函数的奇偶性必先看定义域是否关于原点对称,小心 错误,如  是一个奇函数。

四 学习函数单调性中的错误

(1) 认识概念的误区:误认为单调性一定在整个定义域内考虑,实际上单调性是指定义域中某个区间内的性质,这个区间可能是定义域 ,也可能不是。

例5:求函数的单调区间

错解 :设,且,则         (*)

因为不能确定它的符号,所以,无单调区间。

原因分析:在整个定义域内不能定它的符号,但是在较小的区间内可以定它的符号。

正确解法:(*)式的符号由确定,当[-1,1]时函数递增,和都递减。

对策:判定或证明单调性要注意步骤,也要注意区间,有时要分成小区间讨论。同时上式也不能写成在上递减。

(2)复合函数单调性的判定

例6  求函数㏒的单调区间

错解:令㏒,因为㏒在上是减函数,

在上是减函数,在是增函数。

所以 函数㏒在上是减函数,在上是增函数原因分析:未注意

正确解法:由已知得 且在上是减函数,在上是增函数,所以,函数㏒在上是增函数,在是减函数。

对策:求函数的单调性,方法这里不讲,特别注意函数的定义域 M与函数的值域 D之间的关系是DM

(3)“组合函数”中的问题

从函数与的单调性,不能完全确定+,   /, 不要想当然地用某些未证明的结

例如在R上都是增函数,但是,+=在R是增函数,=在R 是减函数,=与/=在R 上不能确定。因此,这问题必须具体问题具体分析。

五 求函数周期性中的问题

1 学习定义的误区:一方面是对定义的理解不透,二方面是误认为只有三角函数才是周期函数

  例7  设是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有

  (1)设求  (2) 证明是周期函数

错解:有的学生认为没有哪个三角函数满足,不会证明。这些学生认为只有三角函数才是周期函,因为在三角函数部分才讲周期性。

有的学生错解:因为函数图象关于对称,且是偶函数,得 ,所以函数是周期函数T=2。

原因分析:周期定义中的,是定义域中的任意一个数,这里取持殊值 。

正确解法:因为函数的图象关于直线对称,所以    又   所以是R 上的周期函数,且2是它的一个周期。

对策:一定要彻底理解周期的定义,对周期性与对称性的关系参看相关文章的论述。

2、求最小正周期的误区                        

例8 求函数 的最小正周期

错解:因为函数与函数的最小正周期都是p ,因此,函数的最小正周期是p 。

原因分析:乱用一些没证明的结论。

正确解法:因为  所以 它的最小正期为。

对策:按大纲要求,只要“了解周期函数和最小正周期的意义,会求函数的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期”就可以了。不要乱用没证明的结论

 0  313212  313220  313226  313230  313236  313238  313242  313248  313250  313256  313262  313266  313268  313272  313278  313280  313286  313290  313292  313296  313298  313302  313304  313306  313307  313308  313310  313311  313312  313314  313316  313320  313322  313326  313328  313332  313338  313340  313346  313350  313352  313356  313362  313368  313370  313376  313380  313382  313388  313392  313398  313406  447090 

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网