摘要：例2 求函数的值域 错解:令则 . (1) 关于t的方程(1)应有实数解.得.即 原因分析:应用 只保证方程(1)在实数范围 内有解.而本题要求方程(1)是在[-1,1]内有解.上面解法忽略了. 正解:令则[-1.1]. 当时[-1.1], 当时.=0 (2) 设若在[-1,1]内有一解.则且若(2)在[-1.1]有两解.则得综上所述为求值域 对策:在初中经常说错的话是“某方程无解 正确的说法是“方程无实数解 .在高中方程的解的情况常与范围有关.特别是隐含的范围.求值域若用判别式法.要考虑方程在什么范围内有解. 例3 求函数的值域 错解:由 得 (*) .当 时. 不满足原方程 ,取不到. 原因分析:(1)判别式大于或等于零只能使(*)有实数解.而原方程 要求有大于1的实数解. (2)对进行平方时产生了增根.与不同解. 正确解法:令 则 时 对策:求值域一般跟据函数的类型.选用不同的求法.判别式法常用在如的类型 .含有根号的函数一般用换元法. 三 判定函数奇偶性中的错误 例4 :判断函数的奇偶性 错解:而是奇函数.是奇函数. 原因分析:一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.若不对称.则为非奇非偶函数.上题错解是因为:一是不考虑定义域 .二是原函数与不是同一函数. 正确解法:由得的定义域 为{∣或}它不是关于原点对称的区间.所以为非奇非偶函数 防错对策:函数的奇偶性是在整个定义域内的性质.判断函数的奇偶性必先看定义域是否关于原点对称.小心 错误.如 是一个奇函数. 四 学习函数单调性中的错误 (1) 认识概念的误区:误认为单调性一定在整个定义域内考虑.实际上单调性是指定义域中某个区间内的性质.这个区间可能是定义域 .也可能不是. 例5:求函数的单调区间 错解 :设.且.则 (*) 因为不能确定它的符号.所以.无单调区间. 原因分析:在整个定义域内不能定它的符号.但是在较小的区间内可以定它的符号. 正确解法:(*)式的符号由确定.当［-1.1］时函数递增.和都递减. 对策:判定或证明单调性要注意步骤.也要注意区间.有时要分成小区间讨论.同时上式也不能写成在上递减. (2)复合函数单调性的判定 例6 求函数㏒的单调区间 错解:令㏒.因为㏒在上是减函数. 在上是减函数.在是增函数. 所以 函数㏒在上是减函数.在上是增函数原因分析:未注意 正确解法:由已知得 且在上是减函数.在上是增函数.所以.函数㏒在上是增函数.在是减函数. 对策:求函数的单调性.方法这里不讲.特别注意函数的定义域 M与函数的值域 D之间的关系是DM (3)“组合函数 中的问题 从函数与的单调性.不能完全确定+, /, 不要想当然地用某些未证明的结 例如在R上都是增函数.但是.+=在R是增函数.=在R 是减函数.=与/=在R 上不能确定.因此.这问题必须具体问题具体分析. 五 求函数周期性中的问题 1 学习定义的误区:一方面是对定义的理解不透.二方面是误认为只有三角函数才是周期函数 例7 设是定义在R上的偶函数.其图象关于直线对称.对任意.都有 (1)设求 (2) 证明是周期函数 错解:有的学生认为没有哪个三角函数满足.不会证明.这些学生认为只有三角函数才是周期函.因为在三角函数部分才讲周期性. 有的学生错解:因为函数图象关于对称.且是偶函数.得 .所以函数是周期函数T=2. 原因分析:周期定义中的.是定义域中的任意一个数.这里取持殊值 . 正确解法:因为函数的图象关于直线对称.所以 又 所以是R 上的周期函数.且2是它的一个周期. 对策:一定要彻底理解周期的定义.对周期性与对称性的关系参看相关文章的论述.2.求最小正周期的误区 例8 求函数 的最小正周期 错解:因为函数与函数的最小正周期都是p .因此.函数的最小正周期是p . 原因分析:乱用一些没证明的结论. 正确解法:因为 所以 它的最小正期为. 对策:按大纲要求.只要“了解周期函数和最小正周期的意义.会求函数的周期.或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期 就可以了.不要乱用没证明的结论

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