2.(2003年北京)若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 (a1+a2+…+an)等于
A. B. C. D.
解析:an=
即an=
∴a1+a2+…+an=(2－1+2－3+2－5+…)+(3－2+3－4+3－6+…).
∴(a1+a2+…+an)=+=
答案:C
1.已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是
A.2 B.3 C. D.6
解析:由=2,得a=2b.
由=3,得b=3c,∴c=b.
∴=6.
∴== =6.
答案:D
2. ［n(1－)(1－)(1－)…(1－)］等于
A.0 B.1 C.2 D.3
解析: ［n(1－)(1－)(1－)…(1－)］
=［n××××…×］
==2.
●典例剖析
[例1] 求下列极限：
(1);(2) (－n);
(3)(++…+).
剖析:(1)因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；(2)因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.
解:(1)==.
(2) (－n)= ==.
(3)原式===(1+)=1.
评述:对于(1)要避免下面两种错误：①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在，∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误： ①(－n)= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.
[例2] 已知数列{an}是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．
(1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn；
(2)求的值．
解:(1)由已知得an＝c·an－1,
∴{an}是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·cn－1.
∴Sn＝
(2) ＝.
①当c=2时，原式＝－;
②当c＞2时，原式＝＝－;
③当0＜c＜2时，原式=＝.
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
[例3] 已知直线l:x－ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x－1)2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.
剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.
解:设圆心M(－1,－1)到直线l的距离为d,则d2=.
又r=1,∴|AB|2=4(1－d2)=.
设点C(x1,y1), D(x2,y2)，
由nx2－(2n+1)x+n=0,
∴x1+x2=, x1·x2=1.
∵(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=,(y1－y2)2=(－)2=,
∴|CD|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2
=(4n+1)(n2+1).
∴===2.
评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.
[例4] 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当 (b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范围.
解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.
∴===c.又a1·a2=a2=c.
∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.
∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴ (b1+b2+b3+…+bn)= (b1+b3+b5+…)+ (b2+b4+…)=+≤3.
解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.
故c的取值范围是(－1,0)∪(0,］.
评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.
●闯关训练
夯实基础
1.下列极限正确的个数是
①=0(α＞0) ②qn=0
③=－1 ④C=C(C为常数)
A.2 B.3
C.4 D.都不正确
解析:①③④正确.
答案:B
3.数列极限的四则运算法则：设数列{an}、{bn}，
当an=a, bn=b时， (an±bn)=a±b;
(an·bn)=a·b; =(b≠0).
●点击双基
2.几个常用的极限：①C=C(C为常数);②=0;③qn=0(|q|＜1).
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an－a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限.
注：a不一定是{an}中的项.
小结 ：有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积)；两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和(或积)的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法
3.几个重要极限：
(1) (2)(C是常数)
(3)无穷等比数列()的极限是0，即
例1．求下列各极限
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)因为，而，，所以不存在。
(4)原式==
(5)，但时，→+∞。可知时，不存在。
[思维点拨]①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。
②第(5)小题易与数列极限相混，数列极限中特指，而函数极限中的包括了与。
例2 求下列极限：
；
解：(1)
(2)
解:(1) f (x)= (2x+b)=b,f(x)= (1+2x)=2,
当且仅当b=2时, f (x)= f (x),
故b=2时,原极限存在.
(2)由于f(x)是多项式,且=1,
∴可设f (x)=4x3+x2+ax+b(a、b为待定系数).
又∵=5,
即(4x2+x+a+)=5,
∴a=5,b=0,即f (x)=4x3+x2+5x.
评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.
(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
练习：设 ，问a，b为何值时，存在。
解：，。当b=2时有，与a无关。故当b=2，a为任何实数时，存在。
[思维点拨]存在
部析:应先求出f (x)的解析式，再判断连续性.
解:当0≤x＜1时，f (x)= x=x;
当x＞1时，f (x)= ·x=·x=－x;
当x=1时，f (x)=0.
∴f (x)=[i]
∵f(x)=(－x)=－1,f(x)= x=1,
∴f(x)不存在.
∴f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续.
图象如下图所示.
评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.
例5：已知求
解法一：为方程的一根，得，
代人可得
解法二：=
，代人可得
例6：为多项式，且，求。
解：∵是多项式，且，∴，为待定系数，即，又，即，∴，
即。
[思维点拨]待定系数法是求函数解析式的常用方法。
2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。
,n=1,2,…,则
(a1+a2+…+an)等于
B.
C.
D.
+
=
=2, 
=3,则
的值是
D.6
b.
=6.
=
)(1－
)…(1－
)］等于
×
×
×…×
］
=2.
;(2)
－n);
+
+…+
).
=
=
.
=
=
=
=
)=1.
=
=1,②∵
+…+
的值．
.
＝－
;
＝
:y=(x－1)2,又l与M交于点A、B，l与
.
.
.
nx2－(2n+1)x+n=0,
, x1·x2=1.
,(y1－y2)2=(
－
)2=
,
(4n+1)(n2+1).
=
=
=2.
=
=
=c.又a1·a2=a2=c.
=
=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
+
≤3.
=0(α＞0) ②
=－1 ④
=
(b≠0).
(2)
(C是常数)
(
)的极限是0，即 
，而
，
，所以
不存在。
=
，但
时，
→+∞。可知
时，
相混，数列极限中
特指
，而函数极限中的
与
； 
(2)
解:(1)
f (x)= 
f(x)= 
f (x)= 
=1,
=5,
)=5,
，问a，b为何值时，
存在。
，
。当b=2时有
，与a无关。故当b=2，a为任何实数时，
存在
x=x;
·x=
·x=－x;
[i]
f(x)=
f(x)= 
f(x)不存在.
求
为方程
的一根，得
，
=
，代人可得
为多项式，且
，求
，∴
，
为待定系数，即
，又
，即
，∴
，
。