1.数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.

2.熟练掌握如下几个常用极限：

(1) C=C(C为常数);

(2) ()^p=0(p＞0);

(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);

(4) qⁿ=0(|q|＜1).

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教学点睛

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

(1)各数列的极限必须存在；

(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.

9.已知数列{a_n}满足a₁=0,a₂=1,a_n=,求a_n.

解:由a_n=,得

2a_n+a_n－1=2a_n－1+a_n－2,∴{2a_n+a_n－1}是常数列.

∵2a₂+a₁=2,∴2a_n+a_n－1=2.

∴a_n－=－(a_n－1－).

∴{a_n－}是公比为－,首项为－的等比数列.

∴a_n－=－×(－)^n－1.

∴a_n=－×(－)^n－1.

∴a_n=.

●思悟小结

8.已知数列{a_n}、{b_n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设c_n=a_n+b_n,S_n为数列{c_n}的前n项和，求.

解:S_n=+,

当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以p^n－1，得

∴=p.

当p＜1时，0＜q＜p＜1, ==1.

探究创新

7.已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂与a₃的等差中项,且

　=,求极限 (++…+)的值.

解:{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂.

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d₁),

∴2d₂－3d₁=2.

又===,即d₂=2d₁,

∴d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n－1)d₁=2n+1,b_n=b₁+(n－1)d₂=4n－2.

∴==(－).

∴原式=(1－)=.

6.已知数列{a_n}满足(n－1)a_n+1=(n+1)(a_n－1)且a₂=6,设b_n=a_n+n(n∈N*).

(1)求{b_n}的通项公式；

(2)求(+++…+)的值.

解:(1)n=1时，由(n－1)a_n+1=(n+1)(a_n－1),得a₁=1.

n=2时，a₂=6代入得a₃=15.同理a₄=28,再代入b_n=a_n+n,有b₁=2,b₂=8,b₃=18,b₄=32,由此猜想b_n=2n².

要证b_n=2n²,只需证a_n=2n²－n.

①当n=1时，a₁=2×1²－1=1成立.

②假设当n=k时，a_k=2k²－k成立.

那么当n=k+1时，由(k－1)a_k+1=(k+1)(a_k－1),得a _k+1=(a_k－1)

=(2k²－k－1)=(2k+1)(k－1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)²－(k+1).

∴当n=k+1时，a_n=2n²－n正确，从而b_n=2n².

(2)(++…+)=(++…+)

=［++…+］

=［1－+－+…+－］

=［1+－－］=.

培养能力

5.(2004年湖南,理8)数列{a_n}中,a₁=,a_n+a_n+1=,n∈N*,则(a₁+a₂+…+a_n)等于

A. 　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.

解析:2(a₁+a₂+…+a_n)=a₁+［(a₁+a₂)+(a₂+a₃)+(a₃+a₄)+…+(a_n－1+a_n)］+a_n=+[++…+]+a_n.

∴原式=［++a_n］=(++a_n).

∵a_n+a_n+1=,∴a_n+a_n+1=0.

∴a_n=0.

答案:C

4.(2004年 上海,4)设等比数列{a_n}(n∈N)的公比q=－,且(a₁+a₃+a₅+…+a_2n－1)=,则a₁=_________________.

解析:∵q=－,∴ (a₁+a₃+a₅+…+a_2n－1)==.∴a₁=2.

答案:2

3.(2004年春季上海)在数列{a_n}中，a₁=3，且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x－y－=0上，则=__________________.

解析:由题意得－= (n≥2).

∴{}是公差为的等差数列，=.

∴=+(n－1)·=n.

∴a_n=3n².

∴=

==3.

答案:3