摘要：几个重要极限: (1) (2) (3)无穷等比数列()的极限是0.即 例1．求下列各极限 解:(1)原式= (2)原式= (3)因为.而..所以不存在. (4)原式== (5).但时.→+∞.可知时.不存在. [思维点拨]①解此类问题常用的手段是“消因子 与“因式有理化 . ②第(5)小题易与数列极限相混.数列极限中特指.而函数极限中的包括了与. 例2 求下列极限: , 解:(1) (2) 解:(1) f (x)= (2x+b)=b,f(x)= (1+2x)=2, 当且仅当b=2时, f (x)= f (x), 故b=2时,原极限存在. (2)由于f(x)是多项式,且=1, ∴可设f (x)=4x3+x2+ax+b(a.b为待定系数). 又∵=5, 即(4x2+x+a+)=5, ∴a=5,b=0,即f (x)=4x3+x2+5x. 评述:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化. 练习:设 .问a.b为何值时.存在. 解:..当b=2时有.与a无关.故当b=2.a为任何实数时.存在. [思维点拨]存在 部析:应先求出f (x)的解析式.再判断连续性. 解:当0≤x＜1时.f (x)= x=x; 当x＞1时.f (x)= ·x=·x=-x; 当x=1时.f (x)=0. ∴f (x)=[i] ∵f(x)=(-x)=-1,f(x)= x=1, ∴f(x)不存在. ∴f (x)在x=1处不连续.f (x)在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示. 评述:分段函数讨论连续性.一定要讨论在“分界点 的左.右极限.进而判断连续性. 例5:已知求 解法一:为方程的一根.得. 代人可得 解法二:= .代人可得 例6:为多项式.且.求. 解:∵是多项式.且.∴.为待定系数.即.又.即.∴. 即. [思维点拨]待定系数法是求函数解析式的常用方法.

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