3．判断数列是否为等比数列的方法．

2.等比数列的性质；

1.等比中项的定义；

例4． 已知无穷数列，

　　　 求证：(1)这个数列成等比数列；

　　　　　 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；

　　　　　 (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

证：(1)(常数)∴该数列成等比数列．

　　　　 (2)，即：．

　　　　 (3)，∵，∴．

　　　　　　 ∴且，

∴，(第项)．

4．等比数列的增减性：当q>1, a₁>0或0<q<1, a₁<0时, {a_n}是递增数列;

当q>1, a₁<0,或0<q<1, a₁>0时, {a_n}是递减数列;

当q=1时, {a_n}是常数列;当q<0时, {a_n}是摆动数列．

　思考：通项为的数列的图象与函数的图象有什么关系？

3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法

例3．已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.

证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别

它是一个与n无关的常数，所以是一个以q₁q₂为公比的等比数列.

　思考；(1){a_n}是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？

　　　 (2)已知是项数相同的等比数列，是等比数列吗？

2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则

在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？

由定义得：　

　 ，

则

例2. 已知{}是等比数列，且, 求．

解： ∵{}是等比数列，∴ +2+＝(+)＝25,

又>0, ∴+＝5;

思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.　 即G=±(a,b同号)　 ，则，

反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 ∴a,G,b成等比数列G=ab(a·b≠0)

例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.

　解:设m,G,n为所求的三个数,

　 有已知得m+n+ G =14, ,　　 　　　　

　 这三个数为8,4,2或2,4,8.

解法二:设所求三个数分别为则

又　　　 解得

这三个数为8,4,2或2,4,8.

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

(1)5，－15，45，……；(2)1.2，2.4，4.8，……；(3)，…….

3．{a_n}成等比数列