22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-2,0),AE=8.

图1-3-9

(1)求点C的坐标.

(2)连结MG、BC,求证:MG∥BC.

(3)如图1-3-10,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.

图1-3-10

答案：(1)解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=CD.

∵,C为的中点,

∴.∴.

∴CD=AE.∴CO=CD=4.

∴C点的坐标为(0,4).

方法二:连结CM,交AE于点N,

∵C为的中点,M为圆心,

∴AN=AE=4,CM⊥AE.

∴∠ANM=∠COM=90°.

在△ANM和△COM中,

∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4.

∴C点的坐标为(0,4).

(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2.

由OC²+OM²=MC²得4²+(r-2)²=r².

解得r=5.

∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,

∴△AOG∽△ANM.∴.

∵MN=OM=3,即.∴OG=.

∵.

∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB.

∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.

(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分)

(3)解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM,

∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP.

∴DM²=MO·MP,

DO²=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分)

即4²=3·OP.∴OP=.

当点F与点A重合时,,

当点F与点B重合时,.

当点F不与点A、B重合时,连结OF、PF、MF.

∵DM²=MO·MP,∴FM²=MO·MP.

∴.

∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF.

∴.

∴综上所述,的比值不变,比值为.

21.(2006云南课改中考,25)如图1-3-8,在直角坐标系中,O为坐标原点,OABC的边OA在x轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中点,延长AD交OC的延长线于点E.

图1-3-8

(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E₁CD,并求出点E₁的坐标;

(2)求经过C、E₁、B三点的抛物线的函数表达式;

(3)请探求经过C、E₁、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似.若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.

解:(1)过点E作EE₁⊥CD交BC于F点、交x轴于E₁点,则E₁点为E点的对称点.

连结DE₁、CE₁,则△CE₁D为所画的三角形.

∵△CED∽△OEA,,

∴.

∵EF、EE₁分别是△CED、△OEA的对应高,

∴.∴EF=EE₁.

∴F是EE₁的中点.

∴E点关于CD的对称点是E₁点,△CE₁D为△CED关于CD的对称图形.

在Rt△EOE₁中,OE₁=cos60°×EO=×8=4.

∴E₁点的坐标为(4,0).

(2)∵OABC的高为h=sin60°×4=.

过C作CG⊥OA于G,则OG=2.

∴C、B点的坐标分别为(2,)、(8,).

∵抛物线过C、B两点,且CB∥x轴,C、B两点关于抛物线的对称轴对称,

∴抛物线的对称轴方程为x=5.

又∵抛物线过E₁(4,0),

则抛物线与x轴的另一个交点为A(6,0).

∴可设抛物线为y=a(x-4)(x-6).

∵点C(2,)在抛物线上,

∴=a(2-4)(2-6),解得a=.

∴y=(x-4)(x-6)=.

(3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD中∠ECD=60°,若△BCP与△ECD相似,则△BCP中必有一个角为60°.下面进行分类讨论:

①当P点在直线CB的上方时,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°.

∴△PCB为钝角三角形.

又∵△ECD为锐角三角形,

∴△ECD与△CPB不相似.

从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似.

②当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合, 不能构成三角形.

∴在直线CB上不存在满足条件的P点.

③当P点在直线CB的下方时,

若∠BCP=60°,则P点与E₁点重合.

此时,∠ECD=∠BCE₁,而,

∴.

∴△BCE₁与△ECD不相似.

若∠CBP=60°,则P点与A点重合.

根据抛物线的对称性,同理可证△BCA与△CED不相似.

20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.http://www.1230.org

图1-3-6

图1-3-7

(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;

(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;

(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?

(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)

解:(1)依题意,可建立的函数关系式为

y=

(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)²+20.

∵图象过点(60,),

∴=a(60-110)²+20.∴a=.

∴z=(t-110)²+20(t>0).

(3)设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.

故W=

化简得W=

①当W=- (t-10)²+100(0<t<120)时,有t=10时,W最大,最大值为100;

②当W=- (t-110)²+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W最大,最大值为;

③当W=-(t-170)²+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W最大,最大值为56.

综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.

19.(2006上海中考,25)已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.

图1-3-5

(1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO.

求证:△CAO∽△BCO;

(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC∶BC的值(结果用含m的式子表示);

(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.

(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,

∴AO=2PO.∴.

∵PO=CO,∴.

∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO.

(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,

∵OP是OA、OB的比例中项,

∴x²=(x-1)(x+m),

得x=,即OP=.∴OB=.

∵OP是OA、OB的比例中项,即.

∵OP=OC,∴.

设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P、点Q不重合时,

∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.

∴;

当点C与点P或点Q重合时,可得=m,

∴当点C在圆O上运动时,AC∶BC=m.

(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),

AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,

显然BC<(m+1)BC,∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含.

当圆B与圆C相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2.

∵m>1,∴1<m<2.

当圆B与圆C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2.

当圆B与圆C内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.

18.(2006广东深圳中考,21)如图1-3-4,抛物线y=ax²-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.

图1-3-4

(1)求线段OC的长.

(2)求该抛物线的函数关系式.

(3)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)由ax²-8ax+12a=0(a<0)得x₁=2,x₂=6,

即OA=2,OB=6.

∵△OCA∽△OBC,

∴OC²=OA·OB=2×6.

∴OC=(-舍去).

∴线段OC的长为.

(2)∵△OCA∽△OBC,

∴.

设AC=k,则BC=k.

由AC²+BC²=AB²得k²+(k)²=(6-2)².

解得k=2(-2舍去).

∴AC=2,BC==OC.

过点C作CD⊥AB于点D,∴OD=OB=3.

∴CD=.

∴C的坐标为(3,).

将C点的坐标代入抛物线的解析式得=a(3-2)(3-6),∴a=-.

∴抛物线的函数关系式为y=.

(3)①当P₁与O重合时,△BCP₁为等腰三角形.

∴P₁的坐标为(0,0).

②当P₂B=BC时,(P₂在B点的左侧),△BCP₂为等腰三角形.

∴P₂的坐标为(6-,0).

③当P₃为AB的中点时,P₃B=P₃C,△BCP₃为等腰三角形.

∴P₃的坐标为(4,0).

④当BP₄=BC时(P₄在B点的右侧),△BCP₄为等腰三角形.

∴P₄的坐标为(6+,0).

∴在x轴上存在点P,使△BCP为等腰三角形,符合条件的点P的坐标为(0,0),(6-,0)(4,0),(6+,0).

16.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是(　　 )

A.5　　　　　　　　　 B.10　　　　　　　　 C.5或4　　　　　　　 D.10或8

解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边.

答案:D

15.若解方程产生增根,则m的值是(　　 )

A.-1或-2　　　　　　 B.-1或2　　　　　　 C.1或2　　　　　　　 D.1或-2

解析:原式化为x²-2x-m-2=0.

原方程有增根,即x=0或x=-1.

答案:D

14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线最多可以作(　　 )

A.2条　　　　　　　 B.3条　　　　　　　 C.4条　　　　　　　　 D.6条

答案：C

13.若实数a、b满足a²-8a+5=0,b²-8b+5=0,则的值为(　　 )

A.-20　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.2或-20　　　　　　　 D.2或20

解析:分a=b,a≠b两种情况.

答案:D