摘要：如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A.B两点,交y轴于C.D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为,AE=8. 图1-3-9 (1)求点C的坐标. (2)连结MG.BC,求证:MG∥BC. (3)如图1-3-10,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. 图1-3-10 答案:(1)解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=CD. ∵,C为的中点, ∴.∴. ∴CD=AE.∴CO=CD=4. ∴C点的坐标为(0,4). 方法二:连结CM,交AE于点N, ∵C为的中点,M为圆心, ∴AN=AE=4,CM⊥AE. ∴∠ANM=∠COM=90°. 在△ANM和△COM中, ∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4. ∴C点的坐标为(0,4). (2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2. 由OC2+OM2=MC2得42+(r-2)2=r2. 解得r=5. ∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE, ∴△AOG∽△ANM.∴. ∵MN=OM=3,即.∴OG=. ∵. ∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB. ∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC. (说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分) (3)解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM, ∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP. ∴DM2=MO·MP, DO2=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分) 即42=3·OP.∴OP=. 当点F与点A重合时,, 当点F与点B重合时,. 当点F不与点A.B重合时,连结OF.PF.MF. ∵DM2=MO·MP,∴FM2=MO·MP. ∴. ∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF. ∴. ∴综上所述,的比值不变,比值为.

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