摘要：已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点. 图1-3-5 (1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO. 求证:△CAO∽△BCO; (2)如果AP=m,BP=1,OP是OA.OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC∶BC的值; 的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围. (1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO, ∴AO=2PO.∴. ∵PO=CO,∴. ∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO. (2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m, ∵OP是OA.OB的比例中项, ∴x2=, 得x=,即OP=.∴OB=. ∵OP是OA.OB的比例中项,即. ∵OP=OC,∴. 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P.点Q不重合时, ∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO. ∴; 当点C与点P或点Q重合时,可得=m, ∴当点C在圆O上运动时,AC∶BC=m. 得,AC>BC,且AC-BC=, AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC, 显然BC<(m+1)BC,∴圆B和圆C的位置关系只可能相交.内切或内含. 当圆B与圆C相交时,BC,得0<m<2. ∵m>1,∴1<m<2. 当圆B与圆C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2. 当圆B与圆C内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.

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