3．例题讲解

2．探索圆和圆的位置关系

3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．

Ⅴ．课后作业

习题3．9

Ⅵ．活动与探究

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O₁、⊙O₂的半径为R，求⊙O₃的半径．

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O₃的半径为r，则O₁O₃＝O₂O₃＝R+r，连接OO₃就有OO₃⊥O₁O₂，所以OO₂O₃构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O₃的半径r．

解：连接O₂O₃、OO₃，

∴∠O₂OO₃＝90°，OO₃＝2R－r，

O₂O₃＝R+r，OO₂＝R．

∴(R+r)²＝(2R－r)²+R²．

∴r＝R．

板书设计

圆和圆的位置关系

2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

投影片(§3．6C)

设两圆的半径分别为R和r．

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？

[师]如图，请大家互相交流．

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O₁O₂上，所以O₁O₂＝O₁A+O₂A＝R+r，即d＝R+r；反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O₁、A、O₂在一条直线上，所以⊙O₁与⊙O₂只有一个交点A，即⊙O₁与⊙O₂外切．

在图(2)中，⊙O₁与⊙O₂相内切，切点是B．因为切点B在连心线O₁O₂上，所以O₁O₂＝O₁B－O₂B，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O₁O₂＝O₁B－O₂B，说明O₁、O₂、B在一条直线上，B既在⊙O₁上，又在⊙O₂上，所以⊙O₁与⊙O₂内切．

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R+r，反过来，当d＝R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r．

当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R－r．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

1．探索圆和圆的五种位置关系；

如图(1)，⊙O₁与⊙O₂外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O₁与⊙O₂内切呢？(如图(2))

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．

证明：假设切点T不在O₁O₂上．

因为圆是轴对称图形，所以T关于O₁O₂的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O₁和⊙O₂相切矛盾，因此假设不成立．

则T在O₁O₂上．

由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．

在图(2)中应有同样的结论．

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．

投影片

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O＇PN+∠OPO＇即可．

解：∵OP＝OO＇＝PO＇，

∴△PO＇O是一个等边三角形．

∴∠OPO＇＝60°．

又∵TP与NP分别为两圆的切线，

∴∠TPO＝∠NPO＇＝90°．

∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．

在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O₁半径不等的⊙O₂．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O₁，平移⊙O₂，⊙O₁与⊙O₂有几种位置关系？

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O₂上的点在⊙O₁的内部；

(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O₂上的点都在⊙O₁的内部．

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？

[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

经过大家的讨论我们可知：

投影片

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么．

8．渔船没有触礁的危险．

思考·探索·交流