8.(08湖北荆州25题解析)(本题答案暂缺)25．(本题12分)如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90º，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF(F在x轴上)，再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.

　 (1)求折痕EF的长；

　 (2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

　 (3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

7.(08湖北荆门)28．(本小题满分12分)

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B(0，1)，且b=－4ac．

　(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；

(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?

(08湖北荆门28题解析)28．解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1．

　　　　 又b=-4ac,　 顶点A(-,0),

　　　　 ∴-==2c=2．∴A(2,0)．　　　 ………………………………………2分

　　　　 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，　　　

　∴ 　解得a =,b =-1.

　　　　 故抛物线的解析式为y=x²-x+1．　　　 ………………………………………4分

　　　 　另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b²-4ac=0,　 b=-4ac，∴b=-1．　 ………2分

　　　　 ∴a=,故y=x-x+1．　　　　　 ……………………………………………4分

　 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y),　 　　　　　　

　　　　 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．

　　∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°．

　　　　 ∴ △AOB∽△CDA．

　　 　 ∴OB·CD=OA·AD．

　　　 　即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　 ……………………6分

　　　　 由　　　 解得x₁=10,x₂=2．

∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)．　 ………………………8分

　　　 ∵P为圆心，∴P为BC中点．

　　 　 当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P₁ ，连PP₁ ,　则PP₁为梯形OBCD中位线．

∴PP₁=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P₁ (5,0),　∴P (5, )．　

　　　　 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P₂ ，连PP₂ ,　则PP₂为△OAB的中位线．

∴PP₂=OB=．∵A (2,0),　∴P₂(1,0), ∴P (1,)．　

故点P坐标为(5, ),或(1,)．　　……………………………………10分

(3)设B、P、C三点的坐标为B(x₁,y₁),　P(x₂,y₂),　C(x₃,y₃)，由(2)可知：

　　　　　　　　 ………………………………………12分 　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE,　 ∆ABE∽∆DCA　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1分

　　 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°

　　 ∴∠BAE=∠CDA

　　 又∠B=∠C=45°

　　 ∴∆ABE∽∆DCA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　3分

　　 (2)∵∆ABE∽∆DCA

　　 ∴

　　 由依题意可知CA=BA=

　　 ∴

　　 ∴m=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　5分

　　 自变量n的取值范围为1<n<2.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　6分

　　 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n

　　 ∵m=

∴m=n=

∵OB=OC=BC=1

∴OE=OD=－1

∴D(1－, 0)　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2

∵BD+CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8

∴BD+CE=DE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　8分

(4)成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　9分

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH

即BD+CE=DE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　12分

24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

　 (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD+CE=DE.

　 (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

(08湖北恩施24题解析)六、(本大题满分12分)

6.(08湖北恩施)六、(本大题满分12分)

5.(08贵州贵阳)25．(本题满分12分)(本题暂无答案)

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加元．求：

(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式．(3分)

(2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式．(3分)

(3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？(6分)

4.(08广东深圳)22．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，

OB＝OC ，tan∠ACO＝．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

(4)如图10，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

(08广东深圳22题解析)22．(1)方法一：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0) …1分

将A、B、C三点的坐标代入得　　　　　　 ……………………2分

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　 ……………………3分

方法二：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0)　　　　　 ………………………1分

设该表达式为：　　　　　　　　　　 　……………………2分

将C点的坐标代入得：　　　　　　　　　　　　　　 ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　 ……………………3分

(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)

(2)方法一：存在，F点的坐标为(2，－3) 　　　　　　……………………4分

理由：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为(2，－3) 　　　　　　　　　　　　　……………………5分

方法二：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………4分

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为(2，－3)或(―2，―3)或(－4，3)　

代入抛物线的表达式检验，只有(2，－3)符合

∴存在点F，坐标为(2，－3)　 　　　　　　　　　　　　………………………5分

(3)如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R(R>0)，则N(R+1，R)，

代入抛物线的表达式，解得　 …………6分

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r(r>0)，

则N(r+1，－r)，

代入抛物线的表达式，解得　 ………7分

∴圆的半径为或．　 ……………7分

(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G(2，－3)，直线AG为．……………8分

设P(x，)，则Q(x，－x－1)，PQ．

　　　　　　　 ……………………9分

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．　　　 ……………………10分

3.(08广东广州)25、(2008广州)(14分)如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米

(1)当t=4时，求S的值

(2)当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

(08广东广州25题解析)25．(1)t＝4时,Q与B重合，P与D重合，

重合部分是＝

2.(08甘肃白银等9市)28．(12分)如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，3)．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t(秒)．

(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

　(2) 当t=　　　 秒或　　　 秒时，MN=AC；

(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

(08甘肃白银等9市28题解析)28． 本小题满分12分

解：(1)(4，0)，(0，3)；　 ···································································· 2分

(2) 2，6；　 ····································································································· 　4分

(3) 当0＜t≤4时，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON=，S=．　 ······························ 　6分

当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．

方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-． ·············· 　7分

由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4． ···················· 　8分

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

=12--(8-t)(6-)-

=．　 ························································································ 10分

方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．·················· 7分

由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=．··· 8分

以下同方法一．

　(4) 有最大值．

方法一：

当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值=6； ··········· 11分

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是(4，6)，∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6． ····························································· 　12分

方法二：

∵ S=

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ·············· 　11分

显然，当t=4时，S有最大值6．　 ························································· 　12分

说明：只有当第(3)问解答正确时，第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．

1.(08福建莆田)26．(14分)如图：抛物线经过A(-3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点.

　 (1) 求抛物线的解析式.

　 (2)已知AD = AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

　(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

(注：抛物线的对称轴为)

(08福建莆田26题解析)26(1)解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

　　 因为B(0，4)在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3

　　 所以抛物线解析式为

解法二：设抛物线的解析式为，

依题意得：c=4且　 解得

　所以　 所求的抛物线的解析式为

(2)连接DQ，在Rt△AOB中，

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =　7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB

所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

　 即

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，　　

所以t的值是

(3)答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小

理由：因为抛物线的对称轴为

所以A(- 3，0)，C(4，0)两点关于直线对称

连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小

过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900

　　 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，　 △DQE ∽△ABO

　 即

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q(，)

设直线AQ的解析式为

则　 由此得

所以直线AQ的解析式为　 联立

由此得　 所以M

则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。