95.(08山东聊城25题)25．(本题满分12分)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．

(1)要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

(08山东聊城25题解答)(本题满分12分)

解：(1)设正方形的边长为cm，则

．······················································································ 1分

即．

解得(不合题意，舍去)，．

剪去的正方形的边长为1cm．······································································ 3分

(注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分)

(2)有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，

则与的函数关系式为：

．

即．···························································································· 5分

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．　　 7分

(3)有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．························· 9分

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．············································································· 11分

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²．

说明：解答题各小题只给了一种解答及评分说明，其他解法只要步骤合理，解答正确，均应给出相应分数．

94.(08广东梅州23题)23．本题满分11分．

如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

(3)若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标，只需说明理由)

(08广东梅州23题解答)解： (1) DC∥AB，AD=DC=CB，

　∠CDB=∠CBD=∠DBA，······································································· 0.5分

　　 ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， ·· 1分

∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分

　 ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2，　 2分

RtAOD，OA=1，OD=，··················· 2.5分

A(-1，0)，D(0， )，C(2， )．　 4分

(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(－1，0)，B(3，0)，

故可设所求为　 = (+1)( -3) ···················································· 6分

将点D(0， )的坐标代入上式得， =．

所求抛物线的解析式为　 =　　 ································· 7分

其对称轴L为直线=1．·············································································· 8分

(3) PDB为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB为等腰三角形；　 ·········································································· 9分

②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB为等腰三角形；

③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．　 ····· 10分

由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．

93.(08福建南平26题)26．(14分)

(1)如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；

②探究：如图1，　　　　 ；

如图2，　　　　 ；

如图3，　　　　 ．

(2)如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．

①猜想：如图4，　　　　 (用含的式子表示)；

②根据图4证明你的猜想．

(08福建南平26题解答)(1)①证法一：与均为等边三角形，

，······················································································ 2分

且············································· 3分

，

即······················································ 4分

．················································ 5分

证法二：与均为等边三角形，

，······················································································ 2分

且····················································································· 3分

可由绕着点按顺时针方向旋转得到·························· 4分

．························································································· 5分

②，，．································································· 8分(每空1分)

(2)①···································································································· 10分

②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即．························· 11分

．······················································································· 12分

，，··· 13分

，

······································ 14分

证法二：同上可证　 ．···················································· 12分

，如图，延长交于，

，

······························ 13分

··············· 14分

证法三：同上可证　 ．···················································· 12分

．

，

······················································ 13分

即······································································ 14分

证法四：同上可证　 ．···················································· 12分

．如图，连接，

．·································· 13分

即····························· 14分

注意：此题还有其它证法，可相应评分．

92.(08四川资阳24题)24．(本小题满分12分)

如图10，已知点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(9，0)，以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

(08四川资阳24题解答)(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC= ∠COB=90°，

∴ΔAOC∽ ΔCOB，·················································································· 1分

∴．

又∵A(–1，0)，B(9，0)，

∴，解得OC=3(负值舍去)．

∴C(0，–3)，

····················································································································· 3分

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，

∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x²–x–3．·················· 4分

(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，

∴OO′=4，O′(4，0)，················································································ 5分

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴D(4，–5)．······························································································ 6分

∴设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)

∴························································· 7分

解得

∴直线BD的解析式为y=x–9.······························ 8分

(3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则．

分两种情况(如答案图1所示)：

①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，

因此，点Q₁(7，–4)符合，

∵D(4，–5)，Q₁(7，–4)，

∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=x–．························ 9分

解方程组得

∴点P₁坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．

····················································································································· 10分

②∵Q₁(7，–4)，

∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂(7，4)也符合．

∵D(4，–5)，Q₂(7，4)．

∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x–17．·························· 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．

····················································································································· 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

解法二：分两种情况(如答案图2所示)：

①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．

∵B(9，0)，C(0，–3)．

∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x–3．

又∵DP₁∥CB，∴设直线DP₁的解析式为y=x+n．

把D(4，–5)代入可求n= –，

∴直线DP₁解析式为y=x–．·················· 9分

解方程组得

∴点P₁坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．

····················································································································· 10分

②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得ΔNBD≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直线BC解析式为y=x–3．

取x=4，得y= –，∴M(4，–)，∴O′N=O′M=，∴N(，0)，

又∵D(4，–5)，

∴直线DN解析式为y=3x–17．······························································· 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．

····················································································································· 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

解法三：分两种情况(如答案图3所示)：

①求点P₁坐标同解法二．········································································ 10分

②过C点作BD的平行线,交圆O′于G,

此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由(2)题知直线BD的解析式为y=x–9,

又∵ C(0，–3)

∴可求得CG的解析式为y=x–3,

设G(m,m–3)，作GH⊥x轴交与x轴与H，

连结O′G,在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D(4，–5)与G(7，4)可得，

DG的解析式为，······································································ 11分

解方程组得

∴点P₂坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．··········· 12分

∴符合条件的点P有两个：P₁(，)，P₂(14，25)．

说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分.

24．解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为(a≠0)

又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

　∴y=x²-2x-3······························································································· 3分

自变量范围：-1≤x≤3··········································································· 4分

　　　　　 解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)

　　　　　　 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

∴，解之得：

∴y=x²-2x-3······························································································· 3分

自变量范围：-1≤x≤3················································· 4分

　　　　　 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，

　　　　　　 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=

　　　　　　 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

　∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) ····································· 6分

∴切线CE的解析式为·················································· 8分

　(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ······· 9分

　　　　　　　 由题意可知方程组只有一组解

　 即有两个相等实根，∴k=-2·································· 11分

　 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3········································ 12分

24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1)　 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

(08湖南益阳24题解析)七、(本题12分)

12.(08湖南长沙)26.如图，六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.

(1)当∠BAD=75°时，求的长；

(2)求证：BC∥AD∥FE；

(3)设AB=，求六边形ABCDEF的周长L关于的函数关系式，并指出为何值时，L取得最大值.

(08湖南长沙26题解析)26．(1)连结OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，　　　 (1分)

∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，···················· (2分)

故的长为．····················································································· (3分)

(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，················· (5分)

同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE．······················································ (6分)

(3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，

从而BC=AD-2AM=2r-2AM．·································································· (7分)

∵AD为直径，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB

∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-·································· (8分)

∴L=4x+2(2r-)==，其中0＜x＜ · (9分)

∴当x=r时，L取得最大值6r．····························································· (10分)

13(08湖南益阳)七、(本题12分)

11.(08湖北咸宁)24．(本题(1)-(3)小题满分12分，(4)小题为附加题另外附加2分)

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为(0，10)，(8，4)，点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)　 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；

(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

(1)　 附加题：(如果有时间，还可以继续

解答下面问题，祝你成功！)

如果点P、Q保持原速度速度不

变，当点P沿A→B→C→D匀

速运动时，OP与PQ能否相等，

若能，写出所有符合条件的t的

值；若不能，请说明理由．

(08湖北咸宁24题解析)24．解：(1)(1,0)　 -------------------------1分

　　　　　　 点P运动速度每秒钟1个单位长度．--------------------------3分

　　　　 (2) 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，.

　　　　　 　∴.

　　　　　　 在Rt△AFB中，.----------------------------5分

　　　　　 过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.

∵ ∴△ABF≌△BCH.

　∴.

∴.

∴所求C点的坐标为(14，12).------------7分

　　　　 (3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，

则△APM∽△ABF.

　　　　　 ∴.　 .

　∴.　 ∴.

设△OPQ的面积为(平方单位)

∴(0≤≤10)　 ------------------10分

　　　 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.

　∵<0　 ∴当时, △OPQ的面积最大.------------11分

　　　　 此时P的坐标为(，) .　 ----------------------------12分

　　 (4)　 当 或时,　 OP与PQ相等.--------- -------------14分

　　　　 对一个加1分,不需写求解过程.

10.(08湖北武汉)(本题答案暂缺)25.(本题 12分)如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0)，C(3,2)两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线y=kx-1(k≠0)将 四 边 形ABCD面积二等分，求k的值；(3)如图2，过点 E(1，-1)作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ(点M，N，Q分别与 点 A，E，F对应)，使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.

(08湖北武汉25题解析)25.⑴；⑵；⑶M(3，2)，N(1，3)

9.(08湖北天门)(本题答案暂缺)24．(本小题满分12分)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)

(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．