18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.

解法一：

(1)　　 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k _BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k _AB=.

设点B的坐标为(a,b)，则k _BC=

　k _AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由条件知，直线BC的方程为，即

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半

径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由(1)知，sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值．

[答案]本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

　 算求解能力. 满分14分.

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得　 ∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴,　 故离心率为

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．

（1）求证：直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

[答案]本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

（1）∵为中点　 ∴DE∥PA

∵平面DEF，DE平面DEF　　 ∴PA∥平面DEF

（2）∵为中点　 ∴

∵为中点　 ∴

∴　　 ∴，∴DE⊥EF

∵，∴

∵　 ∴DE⊥平面ABC

∵DE平面BDE，　 ∴平面BDE⊥平面ABC．

二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

[答案]本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

　　 力. 满分14分.

（1）∵，

∴

　　　 ；

（2）∵

　　 ∴．

14．若的内角满足，则的最小值是　　　　　　 ．

[答案]

13．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是　　　　　　 ．

[答案]

12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的

值是　　　　　　 ．

[答案]22

11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是　　　　　　 ．

[答案]

10．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是　　　　　　 ．

[答案]

9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为　　　　　　 ．

[答案]