22.[必做题]本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况

∴取出的2个球颜色相同的概率

（2）X的所有可能取值为，则

∴X的概率分布列为

X	2	3	4
P

故X的数学期望

22．(本小题满分10分)

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．

21.[选做题]本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)

　 如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点

　 证明:∠OCB=∠D.

本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.

证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.

　　　 故∠OCB=∠B.

　　 又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，

　　 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，

　　　 所以∠B=∠D.

　　　 因此∠OCB=∠D.

B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值．

[答案]本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

，，由得解得

C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．

[答案]本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

直线l：代入抛物线方程并整理得

∴交点，，故

D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

已知x>0, y>0,证明：(1+x+y²)( 1+x²+y)≥9xy.

本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.

证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y²≥，1+x²+y≥，

所以(1+x+y²)( 1+x²+y)≥=9xy.

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

20．(本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．

（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；

（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．

[答案]本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.

（1）当时，

当时，

∴时，，当时，

∴是“H数列”

（2）

对，使，即

取得，

∵，∴，又，∴，∴

（3）设的公差为d

令，对，

，对，

则，且为等差数列

的前n项和，令，则

当时；

当时；

当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，

因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．

的前ｎ项和，令，则

∵对，是非负偶数，∴

即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”

因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)

19．(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数．

（1）证明：是上的偶函数；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

[答案]本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想

　 方法分析与解决问题的能力.满分16分.

（1），，∴是上的偶函数

（2）由题意，，即

∵，∴，即对恒成立

令，则对任意恒成立

∵，当且仅当时等号成立

∴

（3），当时，∴在上单调增

令，

∵，∴，即在上单调减

∵存在，使得，∴，即

∵

设，则

当时，，单调增；

当时，，单调减

因此至多有两个零点，而

∴当时，，；

当时，，；

当时，，．

18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.

解法一：

(1)　　 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k _BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k _AB=.

设点B的坐标为(a,b)，则k _BC=

　k _AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由条件知，直线BC的方程为，即

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半

径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由(1)知，sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值．

[答案]本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

　 算求解能力. 满分14分.

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得　 ∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴,　 故离心率为

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．

（1）求证：直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

[答案]本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

（1）∵为中点　 ∴DE∥PA

∵平面DEF，DE平面DEF　　 ∴PA∥平面DEF

（2）∵为中点　 ∴

∵为中点　 ∴

∴　　 ∴，∴DE⊥EF

∵，∴

∵　 ∴DE⊥平面ABC

∵DE平面BDE，　 ∴平面BDE⊥平面ABC．

二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

[答案]本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

　　 力. 满分14分.

（1）∵，

∴

　　　 ；

（2）∵

　　 ∴．

14．若的内角满足，则的最小值是　　　　　　 ．

[答案]