摘要：18．如图.为保护河上古桥OA.规划建一座新桥BC.同时设立一个圆形保护区．规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量.点A位于点O正北方向60m处.点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸).． (1)求新桥BC的长, (2)当OM多长时.圆形保护区的面积最大? 解:本小题主要考查直线方程.直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识.考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一: (1) 如图.以O为坐标原点.OC所在直线为x轴.建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A.C. 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-. 又因为AB⊥BC.所以直线AB的斜率k AB=. 设点B的坐标为(a,b).则k BC= k AB= 解得a=80.b=120. 所以BC=. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知.直线BC的方程为.即 由于圆M与直线BC相切.故点M(0.d)到直线BC的距离是r. 即. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以即解得 故当d=10时,最大.即圆面积最大. 所以当OM = 10 m时.圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图.延长OA, CB交于点F. 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=.cos∠FCO=. 因为OA=60,OC=170.所以OF=OC tan∠FCO=. CF=,从而. 因为OA⊥OC.所以cos∠AFB=sin∠FCO==. 又因为AB⊥BC.所以BF=AF cos∠AFB==.从而BC=CF-BF=150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D.连接MD.则MD⊥BC.且MD是圆M的半 径.并设MD=r m.OM=d m(0≤d≤60). 因为OA⊥OC.所以sin∠CFO =cos∠FCO. 故由(1)知.sin∠CFO =所以. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以即解得 故当d=10时,最大.即圆面积最大. 所以当OM = 10 m时.圆形保护区的面积最大.

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