（2007•奉贤区一模）已知：函数f(x)=

x

ax+b

(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=

2

3

，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{a_n}对n≥2，n∈N总有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求出数列{a_n}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{b_n}满足：{b_n}为{a_n}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{a_n}的项）且{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．若存在，找出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．

已知：函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有an=f(

1

an-1

)，a1=1；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为{

1

an

}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{

1

an

}的项，且按在{

1

an

}中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数f(x)=|x-{x}

.

_   (x∈

．
（1）求f(4)，f(-

1

2

)，f(-8.3)的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间(-

1

2

，

1

2

]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+

1

2

&(k∈Z)

对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若-206＜x≤207，试求方程f(x)=

9

23

的所有解的和．

已知

m

=(sinwx，coswx)，

n

=(cosφ，sinφ），函数f(x)=2(Acoswx)

m

•

n

-Asinφ （其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（

5

6

，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2判断函数f（x）在区间[

21

4

，

23

4

]上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由．