Question

已知：函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有an=f(

1

an-1

)，a1=1；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为{

1

an

}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{

1

an

}的项，且按在{

1

an

}中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据已知条件整理得到数列的递推关系式，进而得到数列的规律，即可求出{a_n}的通项公式．
（2）分n为偶数和n为奇数分别求和，最后再合并即可得到结论；
（3）先设b1=

3

2k+1

，公比q=

1

m

＞0，得到b1qn=

3

2k+1

•

1

mn

=

3

2p+1

（k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1；再对m的取值进行讨论，即可得到所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式．

解答：解：（1）由f(x)=

2x+3

3x

，又an=f(

1

an-1

)=

2 an-1 +3

3 an-1

=

2+3an-1

3

=an-1+

2

3

（2分）
所以，{a_n}是以a₁=1为首项，

2

3

为公差的等差数列，即an=

2n+1

3

（n∈N^*）（4分）
（2）当n为偶数，an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-

4

3

an
所以 Sn=-

4

3

(a2+a4+…an)=-

4

3

a2+an

2

n

2

=-

2

9

n2-

2

3

n（6分）
当n为奇数，则n-1为偶数，Sn=Sn-1+anan+1=-

2

9

(n-1)2-

2

3

(n-1)+

2n+1

3

2n+3

3

=

2n2+6n+7

9

（8分）
综上：Sn=

- 2 9 n2- 2 3 nn为偶数 2n2+6n+7 9 n为奇数

（10分）
（3）设b1=

3

2k+1

，公比q=

1

m

＞0，则b1qn=

3

2k+1

•

1

mn

=

3

2p+1

（k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时，S=

1

2

，此时b1=

3

9

，bn=

3

3n+1

，成立                 （13分）
当m=5时，S=

1

2

，此时b1=

2

5

∉{

1

an

}故不成立                   （14分）
m=7时，S=

1

2

，此时b1=

3

7

，bn=

3

7n

，成立                    （15分）
当m≥9时，1-

1

m

≥

8

9

，由S=

1

2

，得b1≥

4

9

，设b1=

3

2k+1

，则k≤

23

8

，又因为k∈N^*，所以k=1，2，此时b₁=1或b1=

3

5

分别代入S=

b1

1-q

=

1

2

，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{b_n}只有两个，即bn=

3

3n+1

或bn=

3

7n

（20分）

点评：本题是对数列知识的综合考查．其中涉及到数列的递推式，以及数列的求和，属于综合性题目，考查计算能力以及分析能力．