Question

已知

m

=(sinwx，coswx)，

n

=(cosφ，sinφ），函数f(x)=2(Acoswx)

m

•

n

-Asinφ （其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（

5

6

，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2判断函数f（x）在区间[

21

4

，

23

4

]上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意利用三角函数的恒等变换化简可得函数f（x）的解析式为 Asin（2ωx+φ），根据顶点纵坐标求出A，据函数的周期性求得ω，把点代入求得 φ 的值．
（2）由 πx+

π

6

=kπ+

π

2

k∈z，解得x=k+

1

3

．令

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

以及k的性质，解得k的值，从而得出结论．

解答：解：（1）由题意化简可知，函数f(x)=2(Acoswx)

m

•

n

-Asinφ=2Acosωx（sinωxcosφ+cosωxsinφ）-Asinφ
=A（sin2ωxcosφ+2cos²ωxsinφ）-Asinφ=A（sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ）=Asin（2ωx+φ），（4分）
且A=2，

1

4

•

2π

ω

=

5

6

-

1

3

，∴ω=π．
将点P（

1

3

，2）代入 y=2sin（πx+φ）可得：sin（

π

3

+φ）=1，∴φ=2kπ+

π

6

，k∈z．
考虑到|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

，于是函数的表达式为 f（x）=2sin（πx+

π

6

）．     （6分）
（2）由 πx+

π

6

=kπ+

π

2

 k∈z，解得x=k+

1

3

．
令

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

，解得：

59

12

≤k≤

65

12

．  由于k∈z，所以k=5．
所以函数f（x）在区间[

21

4

，

23

4

]上存在对称轴，其方程为x=

16

3

．   …（10分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的运算，正弦函数的对称性，属于中档题．