Question

（2007•奉贤区一模）已知：函数f(x)=

x

ax+b

(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=

2

3

，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{a_n}对n≥2，n∈N总有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求出数列{a_n}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{b_n}满足：{b_n}为{a_n}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{a_n}的项）且{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．若存在，找出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f(2)=

2

3

⇒

2

2a+b

=

2

3

解法一：f（x）=x 有唯一根，所以

x

ax+b

=x即ax2+(b-1)x=0有唯一根，则可得△=（b-1）²=0，从而可求a，b
解法二：

x

ax+b

=x 即x（

1

ax+b

-1）=0，由方程有唯一的根可得

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，从而可求a，b
（2）由an=

an-1

an-1+1

⇒

1

an

-

1

an-1

=1，从而可得{

1

an

}为等差数列，可求
（3）结合（2）可设{b_n} 的首项为

1

m

，公比为q （m∈N*，

1

q

∈N* ）由无穷等比数列的各项和为：

1 m

1-q

=

1

2

，可得

2

m

=1-q；当m=3 时，q=

1

3

，bn=(

1

3

)n；
当m=4时，q=

1

2

bn=(

1

2

)n+1 若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．，m＞4，则由0＜

2

m

＜

1

2

可得

1

2

＜q＜1⇒1＜

1

q

＜2 与

1

q

∈N* 矛盾从而可求．

解答：解：（1）f(2)=

2

3

⇒

2

2a+b

=

2

3

（1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以

x

ax+b

=x即ax2+(b-1)x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：

x

ax+b

=x
x（

1

ax+b

-1）=0（1分）
　 x₁=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an=

an-1

an-1+1

⇒

1

an

-

1

an-1

=1 （2分）
∴{

1

an

}为等差数列 （1分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=

1

n

（1分）
（3）设{b_n} 的首项为

1

m

，公比为q （m∈N*，

1

q

∈N* ）（1分）
所以这个无穷等比数列的各项和为：

1 m

1-q

=

1

2

，（1分）

2

m

=1-q；当m=3 时，q=

1

3

，bn=(

1

3

)n；
当m=4时，q=

1

2

bn=(

1

2

)n+1 （2分）
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
m＞4，则0＜

2

m

＜

1

2

∴

1

2

＜q＜1⇒1＜

1

q

＜2 与

1

q

∈N* 矛盾．
∴只有两个符合条件的数列．（2分）

点评：本题主要考查了函数与数列的综合知识的应用，解题的关键熟练掌握函数与数列的性质并能灵活应用．