Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数f(x)=|x-{x}

.

_   (x∈

．
（1）求f(4)，f(-

1

2

)，f(-8.3)的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间(-

1

2

，

1

2

]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+

1

2

&(k∈Z)

对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若-206＜x≤207，试求方程f(x)=

9

23

的所有解的和．

Answer 1

分析：（1）把x=4，x=-

1

2

，x=-8.3分别代入f（x）=|x-{x}|可求
（2）正确结论有：①②④
①：当x∈（m-

1

2

，m+

1

2

），m∈Z 时，-x∈（-m-

1

2

，-m+

1

2

），可得{x}=m，{-x}=-m，，从而f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；当x=m+

1

2

，m∈Z 时，f（x）=f（-x）=

1

2

②：对任意x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，x+1∈（m+1-

1

2

，m+1+

1

2

]，可得{x+1}=m+1，从而f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
④：函数y=f（x） 是偶函数，即f（-x）=f（x），又函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数可得f（x+1）=f（x），则f（x+1）=f（-x）可得f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x）?f（k+

1

2

+x）=f（k+

1

2

-x）
（3）由函数y=f（x）是偶函数，当206≤x≤207时，由判断④知当x∈[206，207]时有两解，且关于x=206+

1

2

对称，可求和

解答：解：（1）f（4）=0，f（-

1

2

）=

1

2

，f（-8.3）=0.3．…6分
（2）正确结论有：①②④．…9分证
①：当x∈（m-

1

2

，m+

1

2

），m∈Z 时，-x∈（-m-

1

2

，-m+

1

2

），∴{x}=m，{-x}=-m，
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；当x=m+

1

2

，m∈Z 时，f（x）=f（-x）=

1

2

，
故函数y=f（x） 是偶函数．…14分证
②：对任意x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，x+1∈（m+1-

1

2

，m+1+

1

2

]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
故函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数．…14分证④：∵函数y=f（x） 是偶函数，即f（-x）=f（x），又函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（-x）?f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x）?f（k+

1

2

+x）=f（k+

1

2

-x），故函数y=f（x） 的图象关于直线x=k+

1

2

&(k∈Z)

对称．…14分
（3）∵函数y=f（x）是偶函数，即求当206≤x≤207时，由判断④知当x∈[206，207]时有两解，且关于x=206+

1

2

对称，故其和为413．…20分

点评：本题主要考查了函数的性质：函数的奇偶性、函数的对称性、函数的周期性的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能灵活应用．