题目内容
已知函数f(x)=| x2 |
| x+m |
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{an}中，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足an=f（Sn）（n≥2），
证明数列{
| 1 |
| Sn |
（3）另有一新数列{bn}，若将数列{bn}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数b1，b2，b4，b7，…，构成的数列即为数列{an}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当b81=-
| 4 |
| 91 |
分析：（1）把点的坐标代入求出m即可求该函数的解析式；
（2）先利用条件求出an=
．再把an换掉整理后即可证明数列{
}成等差数列，然后利用求出的Sn来求数列{an}的通项公式；
（3）先求出b81所在位置，再利用每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，求出公比，再代入求和公式即可．
（2）先利用条件求出an=
| Sn2 |
| Sn-2 |
| 1 |
| Sn |
（3）先求出b81所在位置，再利用每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，求出公比，再代入求和公式即可．
解答：解（1）由函数f(x)=
的图象经过点（4，8）得：m=-2，
函数的解析式为f(x)=
（2分）
（2）由已知，当n≥2时，an=f（Sn），即an=
．
又Sn=a1+a2++an，
所以Sn-Sn-1=
，即2Sn+Sn•Sn-1=2Sn-1，（5分）
所以
-
=
，（7分）
又S1=a1=1．
所以数列{
}是首项为1，公差为
的等差数列．
由上可知
=1+
(n-1)=
，
即Sn=
．
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
-
=-
．
因此an=
（9分）
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为1+2++12=
=78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{bn}的前78项，
故b81在表中第13行第三列，（11分）
因此b81=a13q2=-
．
又a13=-
，
所以q=2（13分）
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则S=
=-
•
=
(1-2k)(k≥3)（16分）
| x2 |
| x+m |
函数的解析式为f(x)=
| x2 |
| x-2 |
（2）由已知，当n≥2时，an=f（Sn），即an=
| Sn2 |
| Sn-2 |
又Sn=a1+a2++an，
所以Sn-Sn-1=
| Sn2 |
| Sn-2 |
所以
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| Sn-1 |
| 1 |
| 2 |
又S1=a1=1．
所以数列{
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 2 |
由上可知
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
即Sn=
| 2 |
| n+1 |
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n(n+1) |
因此an=
|
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为1+2++12=
| 12×13 |
| 2 |
所以表中第1行至第12行共含有数列{bn}的前78项，
故b81在表中第13行第三列，（11分）
因此b81=a13q2=-
| 4 |
| 91 |
又a13=-
| 2 |
| 13×14 |
所以q=2（13分）
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则S=
| ak(1-qk) |
| 1-q |
| 2 |
| k(k+1) |
| (1-2k) |
| 1-2 |
| 2 |
| k(k+1) |
点评：本题是对数列和函数的综合考查．涉及到等比数列的求和问题，在对等比数列求和时，一定要先判断公比的取值．
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