1.已知有穷数列：，其中后一项比前一项大2.

⑴求此数列的通项公式；

⑵是否为此数列的项？

[解析]⑴设数列的第项为，则

令，故该数列的通项公式

　⑵令，解得，

， 不是有穷数列的项.

3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.

求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.

问题1：已知是数列的前项和，，则此数列是(　　 )

A.递增数列　　　 B.递减数列　　　 C.常数数列　　　　 D.摆动数列

分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.

解析：，

两式相减，得，

当时，，，选C.

问题2：数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是(　　 )

A.　　　 B. 　　　C. 　　　　D.

分析：由已知条件判定数列单调性，注意的取值范围.

解析：，

　　　　　 时，递减；时，递减.结合图象，选C.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1 数列的通项公式

题型1 已知数列的前几项，求通项公式

[例1]求下列数列的一个通项公式：

⑴

⑵

⑶

⑷

[解题思路]写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.

[解析]⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式；

⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为

呈周期性变化，可以用，或，或表示.

(或，或)

⑶分子为正偶数列，分母为得

⑷观察数列可知：

本题也可以利用关系式求解.

[名师指引]⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.

⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.

题型2 已知数列的前项和，求通项公式

[例2]已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.

⑴；　 ⑵.

[解题思路]利用，这是求数列通项的一个重要公式.

[解析]⑴当时，，

当时，.

当时，，.

⑵当时，，

当时，.

当时，，.

[名师指引]任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：

若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

题型3 已知数列的递推式，求通项公式

[例3]数列中，，求，并归纳出.

[解题思路]已知的递推公式求前几项，可逐步计算.

[解析]，

，，，，

由，可以归纳出.

[名师指引]由递推公式求通项，可以考虑“归纳-猜想-证明”的方法，也可以构造新数列.

[新题导练]

2.难点：用函数的观点理解数列.

1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何,均有.

②递减数列:对于任何,均有.

③摆动数列:例如:

④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数使.

⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.

★ 重 难 点 突 破 ★

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

4.数列的前项和与通项的公式

①；　 ②.

3.递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.

2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.