22．(本小题满分14分)

设数列，满足，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)对一切，证明成立；

(3)记数列,的前项和分别为、，证明：．

22题．( 14分)

(1)解：∵　　∴　　　　

∴数列是以为首项，以为公比的等比数列　　　　　　　　 (2分)

∴　　　　　　　　　　　　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)证明：

构造函数　(　　　　　　　　　　　　　

　　，　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

∴在内为减函数，则　　　　　　　

∴　(

∴，∴对一切，都成立　　　　　　　 (9分)

(3)证明：∵

∵

由(2)可知　

∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

∵　

∴　　　 ∴

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

21.(本小题满分12分)

如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.

(1)设点分有向线段所成的比为λ，证明；

(2)设直线的方程是,过两点的圆与

抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.

21题．( 12分)

解(1)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得

　　　 　　　　　①

设A、B两点的坐标分别是,则、是方程①的两根。

所以

由点分有向线段所成的比为，

　得， 即　　　 (3分)

又点Q是点P关于原点的以称点，

故点Q的坐标是,从而

　　　　　 =

=

===0，

所以 　　　　　　　　(6分)

　(2) 由得点A、B的坐标分别是(6，9)、(--4，4)。

　　 由得，

　 所以抛物线在点A处切线的斜率为。　　　 ( 9分)

　设圆的方程是，

　则

　 解之得　

　　 所以圆的方程是。 (12分)

20．(本小题满分12分)

已知，，是曲线在点处的切线．

(1)求切线的方程；

(2)若切线与曲线有且只有一个公共点，求的值．

20题．( 12分)

解：(1)∵　 ∴

　　　　 ∴　　 ∴　　　　

切点，切线的斜率为

∴切线的方程：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程即有且只有一个实数解．　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

令，∵　

∴方程有一解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 7分

①若，则，∴在上单调递增，

∴是方程的唯一解；　　　　　　　　　　　　　　

②若，则两根

		0
	+	0	-	0	+
		极大值0		极小值

∴，而

∴方程在上还有一解，则解不唯一； 10分

③若，则两根

同理可得方程在上还有一解，

则解不唯一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上，当切线与曲线有且只有一个公共点时，　　　　 12分

20．(本题满分13分)

　　　 解：(1)当时，

　　　 函数

　　　 曲线在点处的切线的斜率为

　　　 　1分

　　　 从而曲线在点处的切线方程为

　　　 即

　 (2) 3分

　　　 令，要使在定义域(0，∞)内是增函　　　　　　　　　

　　　 只需在(0，+∞)内恒成立　　 4分

　　　 由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

　　　 ，

　　　 只需时，

　　　 在(0，+∞)内为增函数，正实数的取值范围是　 6分

　 (3)上是减函数，

　　　 时，

　　　 ，

　　　 即　 1分

　　　 ①当时，

　　　 其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

　　　 且，所以内是减函数。

　　　 当时，在

　　　 因为，

　　　 所以

　　　 此时，内是减函数。

　　　 故当时，上单调递减

　　　 ，不合题意；

　　　 ②当时，由

　　　 所以

　　　 又由(2)知当时，上是增函数，

　　　 ，不合题意；　 11分

　　　 ③当时，由(2)知上是增函数，

　　　 又上是减函数，

　　　 故只需

　　　 而

　　　 即

　　　 解得，

　　　 所以实数的取值范围是。　 13分

　　　 注：另有其它解法，请酌情给分。

20．(本题满分13分)

　　　 已知函数

　 (1)若，求曲线处的切线；

　 (2)若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

　 (3)设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

19．(本题满分14分)

　　　 解：(1)设椭圆的半焦距为c，

　　　 依题意

　　　 解得

　　　 由 2分

　　　 所求椭圆方程为　 3分

　 (2)

　　　 设，

　　　 其坐标满足方程

　　　 消去并整理得

　　　 　 4分

　　　 则(*)　 5分

　　　 故　　 6分

　　　 经检验满足式(*)式　 8分

　 (3)由已知，

　　　 可得　　 9分

　　　 将代入椭圆方程，

　　　 整理得

　　　 　10分

　　　 　11分

　　　 　 12分

　　　 当且仅当，

　　　 即时等号成立，

　　　 经检验，满足(*)式

　　　 当时，

　　　 综上可知13分

　　　 当|AB最大时，的面积最大值　 14分

19．(本题满分14分)

　　　 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。

　 (1)求椭圆的方程；

　 (2)求的值(O点为坐标原点)；

　 (3)若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。

18．(本题满分13分)

　 (1)解：

　　　 　 2分

　　　 　4分

　 (2)证明：

　　　 是首项为，

　　　 公比为-1的等比数列。 7分

　　　 ，

　　　 即

　　　 的通项公式为

　　　 所以当是奇数时，

　　　 　 10分

　　　 当是偶数时，

　　　 　 12分

　　　 综上，　 13分

18．(本题满分13分)

　　　 在数列中，

　 (1)求的值；

　 (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

　 (3)求数列。

3. 石景山一模