2．有关范围问题

例7 (2001春季高考题)

已知抛物线y²=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。

　　　　　　 (1)求a的取值范围；

　　　 (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

　　　　　　 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

　　　　　　 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y²=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则,又y₁=x₁-a,y₂=x₂-a,

　　　　 解得:

　　　　　　 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x₃,y₃)，则由中点坐标公式得：

,

所以|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S_△NAB=,即△NAB面积的最大值为²。

例8　 (1992年高考题)

已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x₀,0)，证明：.

分析：欲证x₀满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x₀与x的关系。

由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有：(x₁-x₀)²-y₁²=(x₂-x₀)²-y₂²,因为点A、B在椭圆上，所以，

，从而由-a≤x₁≤a,-a≤x₂≤a,可得：

例9　 (2000年高考题)

已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。

分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。

解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记A(-C,0)，C(h)，E(x₀,y₀),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。

由,即(x₀+c,y₀)= (-x₀,h-y₀)得:x₀=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得

将(1)式代入(2)式,整理得(4-4)=1+2,故=1.

依题设得,解得.

所以双曲线的离心率的取值范围是.

例10 已知抛物线y²=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。

分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。

设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x²+(2b-2p)x+b²=0.则x₁+x₂=2p-2b,y₁+y₂=( x₁+x₂)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又=(2b-2p)²-4b²=4p²-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p²-8p(2p-1)>0,3p²-2p<0.解得：

0<p<.

是否存在常数a、b、c，使函数f(x)=满足下列条件：

(1)函数f(x)是奇函数；

(2)；f(1)<f(3) ；

(3)不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]？

若存在，则求出不等式f(-2+sinθ) ≤m对任意θ∈R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。又不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=的根，从而:

,解得：a=2，c=-4，故：

f(x)= 。

1．有关最值问题

　　　 例6 (1990年全国)

　　　 设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。

　　　 分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。

　　　 设椭圆方程为，则由e=得：a²=4b²，所以x²=4b²-4y².

设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

|PQ|==(-byb).

若b<，则-<-b,当y=-b时|PQ|_max=.

解得：b=->与b<矛盾；若b，则当y=-时|PQ|_max=,解得:b=1,a=2.

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

　　　　　　 　例3 (1994年全国)

已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x²+y²=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

　　　　　　 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：

P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，将M点坐标代入，可得：(²-1)(x²+y²)-4²x+(1+4²)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。

　　　　　　 这种方法叫做直接法。

　　　　　　 例4 (1999年全国)

给出定点A(a,0)(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

　　　　　　 分析：设C(x,y),B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以

　 y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0

若，y≠0,则(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0<x<a)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为(0，0)，也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x<a)。

　　　　　　 当a=1时，方程表示抛物线弧；当0<a<1时，方程表示椭圆弧；当a>1时，方程表示双曲线一支的弧。

一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。

例5 (1995年全国)

已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|²，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

分析：设Q(x,y),P(x_P,y_P),R(x_R,y_R), 则

，代入

，得：(x-1)²+(y-1)²=1.

　　　　　　 注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| |x_P|=|x_R²|代替，这样就简单多了。

Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题

Ⅰ.求曲线的方程

1．曲线的形状已知

　　　　　　 这类问题一般可用待定系数法解决。

　　　　　　 例1 (1994年全国)

　　　　　　 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

　　　　　　 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y²=2px(p>0).

设A、B关于L的对称点分别为A^/、B^/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A^/()，B^/()。因为A^/、B^/均在抛物线上，代入，消去p，得：k²-k-1=0.解得：k=,p=.

所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y²=x.

　　　　　　 例2 (1993年全国)

　　　　　　 在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

　　　　　　 分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。

　　 例1　 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t　 (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

　 (2)计算出点P、Q的坐标；

　 (3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　

　 讲解: 　通过读图,　 看出点的坐标.

(1 ) 显然, 　于是 直线

的方程为；

　 (2)由方程组

解出　 、；　　　　　　　

　 (3),

　　　 　.

　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

　　　　　　 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2　 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

　 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,

　 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程 得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即　 ①

在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得

　令顶点P的坐标为(x，y)，　 由已知，得

　代入①式并整理，得 ,　 即为所求顶点P的轨迹方程．

　　　　　　 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

　 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

　(1)求双曲线的方程；

　(2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　 讲解：∵(1)原点到直线AB：的距离.

　　 故所求双曲线方程为

(2)把中消去y，整理得 .

　　 设的中点是，则

即

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

　 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．

　 (1)求椭圆C的离心率；

　 (2)求椭圆C的方程．

　 讲解：(1)设, 对 由余弦定理, 得

　，

解出　

　(2)考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

　 i) 当k存在时，设l的方程为………………①

　椭圆方程为

　由　 得　 .

于是椭圆方程可转化为　 ………………②

将①代入②，消去得　 　　,

整理为的一元二次方程，得　　　 .

则x₁、x₂是上述方程的两根．且

，

也可这样求解：

AB边上的高

ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为　 由题意得=12　 所以　　

　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：…………①

(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.)

椭圆的方程为：

由得：于是椭圆方程可化为：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的两根.

,

AB边上的高,

从而

当且仅当m=0取等号，即

　　 由题意知,　 于是　 .

　　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

　　 例5 　已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.

(1)求此椭圆的离心率；

(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.

　　　 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为 得

,　　

根据韦达定理，得　　　　　　

　∴线段AB的中点坐标为().　

　由已知得

　 故椭圆的离心率为 .

　(2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为

解得　 　

由已知得

故所求的椭圆方程为 .

　　　 例6 　已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

　　　 (1)如果，求直线MQ的方程；

　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　　 讲解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中，

　 　 ，

　　 故，

　　 所以直线AB方程是

　　 (2)连接MB，MQ，设由

点M，P，Q在一直线上，得

由射影定理得

即 把(*)及(**)消去a，并注意到，可得

　　　 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

　　 例7　 　如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，

　 试确定实数的取值范围．

讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

　　 ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　y

∵　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴曲线E的方程是 　.

　 (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得

设M₁(,　 则

i)　 L与y轴重合时，　　　　　　　　 　　　　　

ii)　 L与y轴不重合时，

　 由①得　

　 又∵,

∵　 或　

∴0＜＜1 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

∴ .　　　　　　 　　　

∵

而　 ∴

∴ 　　　　　　　　　　　　　　

∴ ,　 ,

∴的取值范围是 .　　

　　 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

　　 例8　 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.

　 (1)求证：;

　 (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

　 讲解: (1)易求得抛物线的焦点.

　 若l⊥x轴，则l的方程为.

若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得　　　　　　 .

综上可知　 .

(2)设，则CD的垂直平分线的方程为

假设过F，则整理得

，.

这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

　　　　　　 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

　　　 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

　　　　　　 讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

　　　 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即　 　|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在双曲线的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

　　 在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。

　　 例8　　 P、Q是双曲线上的两点，若，求证：

为定值。

　　 解：将代入

　　 ，

　 　有。

　　 设，为定值。

　　 上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。

　　 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。

　　 例7　 过点A(-2，4)引倾斜角为的直线交抛物线于

两点，若成等比数列，求P的值。

　　 解：设直线的参数方程为

　　 代入得

　　 ，

　　 ，

　　 。

　　 由参数的几何意义，得，，。

　　 根据题意得，

　　 ，

　　 ，于是，即，又

，得。

2. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

　　 例6　 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线

上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

　　 解：抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则

=。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，

取得最小值，把代入，得P(1，2)。

1. 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离

　 例5　 直线与轴不垂直，与抛物线交于A、B两点，与椭圆

交于C、D两点，与轴交于点，若，求的范围。

　　 解：设直线的方程为，又设、、

。

　　 由，

　　 得到。

　　 当　 ，　　　　　　　　　　 (1)

　　 由韦达定理得

　　 ，

　　 由

　　 得到。

　　 　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　 有。

　　 要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由，得

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

　　 把(3)分别代入(1)、(2)可求得的范围为(-2，-1)。

　　 注：此题如果不转化，就找不到关系，花费再多时间都难以解出。

3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算

　　 例4　　 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时，线段，，成等差数列。

　　 解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：， (如图2)。

　　 成等差数列，

　　 ，

　　 即，。

　　 设的方程为：，代入得。

　　 由，

　　 解得，

　　 故或。

　　 注：如果此题直接计算三段，，的长，而不结合图形得关系式

，会加大运算量。