摘要： 利用圆锥曲线的定义.把到焦点的距离转化为到准线的距离 例6 点A(3.2)为定点.点F是抛物线的焦点.点P在抛物线 上移动.若取得最小值.求点P的坐标. 解:抛物线的准线方程为.设P到准线的距离为.则 =.要使取得最小值.由图3可知过A点的直线与准线垂直时. 取得最小值.把代入.得P(1.2).
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在圆锥曲线的学习中，我们已经学习了它的标准方程，以椭圆
＝1(a＞b＞0)为例说明此方程就是以F1(－c，0)，F2(c，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆的方程．怎样利用曲线与方程的定义说明上述问题？
已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）2+y2=p2+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题． 查看习题详情和答案>>
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）2+y2=p2+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题． 查看习题详情和答案>>
有如下4个关于圆锥曲线的命题：
①-1＜λ＜1是方程
=1表示椭圆的充要条件；
②λ＜-1是方程
=1表示双曲线的一个充分条件；
③双曲线
=1(a＞0，b＞0)，
=1(a＞0，b＞0)有共同的渐近线；
④双曲线
=1(a＞0，b＞0)是等轴双曲线的充要条件是离心率为
，其中正确命题的序号有_______________(把所有正确命题序号都填上)．
（12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为
.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线
与曲线
：交于
两点，
的中点为
，若直线和
(
为坐标原点)的斜率都存在，则
.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；
（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
① 过点
作直线与椭圆
交于两点，求的中点的轨迹
的方程；
② 过点
作直线
与有心圆锥曲线
交于
两点，是否存在这样的直线使点为线段
的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.