摘要：例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点.AB=2.OT=t .以AB为直腰作直角梯形.使垂直且等于AT.使垂直且等于BT.交半圆于P.Q两点.建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程, (2)计算出点P.Q的坐标, (3)证明:由点P发出的光线.经AB反射后.反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标. (1 ) 显然, 于是 直线 的方程为, (2)由方程组 解出 ., (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知.由点P发出的光线经点T反射.反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q.且与x轴.y轴分别交于R.S.求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知.直线l不过椭圆的四个顶点.所以设直线l的方程为 代入椭圆方程 得 化简后.得关于的一元二次方程 于是其判别式 由已知.得△=0．即 ① 在直线方程中.分别令y=0.x=0.求得 令顶点P的坐标为(x.y). 由已知.得 代入①式并整理.得 , 即为所求顶点P的轨迹方程． 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率.过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程, (2)已知直线交双曲线于不同的点C.D且C.D都在以B为圆心的圆上.求k的值. 讲解:∵(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y.整理得 . 设的中点是.则 即 故所求k=±. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点.焦点F1.F2在x轴上.点P为椭圆上的一个动点.且∠F1PF2的最大值为90°.直线l过左焦点F1与椭圆交于A.B两点.△ABF2的面积最大值为12． (1)求椭圆C的离心率, (2)求椭圆C的方程． 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得 . 解出 (2)考虑直线的斜率的存在性.可分两种情况: i) 当k存在时.设l的方程为------① 椭圆方程为 由 得 . 于是椭圆方程可转化为 ------② 将①代入②.消去得 , 整理为的一元二次方程.得 . 则x1.x2是上述方程的两根．且 . 也可这样求解: . AB边上的高 ii) 当k不存在时.把直线代入椭圆方程得 由①②知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:----① (这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.) 椭圆的方程为: 由得:于是椭圆方程可化为:--② 把①代入②并整理得: 于是是上述方程的两根. , AB边上的高, 从而 当且仅当m=0取等号.即 由题意知, 于是 . 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A.B两点.且线段AB的中点在直线上. (1)求此椭圆的离心率, (2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上.求此椭圆的方程. 讲解:(1)设A.B两点的坐标分别为 得 , 根据韦达定理.得 ∴线段AB的中点坐标为(). 由已知得 故椭圆的离心率为 . 知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为 解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 . 例6 已知⊙M:轴上的动点.QA.QB分别切⊙M于A.B两点. (1)如果.求直线MQ的方程, (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 讲解:(1)由.可得由射影定理.得 在Rt△MOQ中. . 故. 所以直线AB方程是 (2)连接MB.MQ.设由 点M.P.Q在一直线上.得 由射影定理得 即 把消去a.并注意到.可得 适时应用平面几何知识.这是快速解答本题的要害所在.还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图.在Rt△ABC中.∠CBA=90°.AB=2.AC=.DO⊥AB于O点.OA=OB.DO=2.曲线E过C点.动点P在E上运动.且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系.求曲线E的方程, (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M.N且M在D.N之间.设. 试确定实数的取值范围． 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C = A O B ∴动点P的轨迹是椭圆 . ∵ ∴曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程.得 设M1(, 则 ① ② ③ i) L与y轴重合时. ii) L与y轴不重合时. 由①得 又∵, ∵ 或 ∴0＜＜1 , ∴ . ∵ 而 ∴ ∴ ∴ , , ∴的取值范围是 . 值得读者注意的是.直线L与y轴重合的情况易于遗漏.应当引起警惕. 例8 直线过抛物线的焦点.且与抛物线相交于A两点. (1)求证:; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD.直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若l⊥x轴.则l的方程为. 若l不垂直于x轴.可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 . (2)设.则CD的垂直平分线的方程为 假设过F.则整理得 .. 这时的方程为y=0.从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点.因此与l不重合.l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化.你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累.能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点.复课切忌忘掉课本! 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石.通过公路上的两个道口A和B.沿着道路AP.BP运往公路另一侧的P处.PA=100m.PB=150m.∠APB=60°.试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线l为x轴.线段AB的中点为原点对立直角坐标系.则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点.设这样的点为M.则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, , ∴M在双曲线的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处.曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处.按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及.其实在课本中还可找到典型的范例.你知道吗? 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

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