摘要：已知数列{an}的相邻两项an.an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根.且a1=1. (1)求证:数列{ an-×2n}是等比数列, (2)设Sn是数列{an}的前n项的和.问是否存在常数λ.使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立.若存在.求出λ的取值范围,若不存在.请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式.数列前n项和.不等式等基础知识.考查化归与转化.分类与整合.特殊与一般的数学思想方法.以及推理论证能力.运算求解能力和抽象概括能力) (1)证法1:∵an.an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根. ∴ --2分 由an+an+1=2n.得.故数列 是首项为.公比为-1的等比数列. --4分 证法2:∵an.an+1是关于x 的方程x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根. ∴ --2分 ∵. 故数列是首项为.公比为-1的等比数列. --4分 得.即. ∴ --6分 ∴Sn=a1+ a2+ a3+-+ an=[(2+22+23+-+2n)-[2+-+(-1)n] . --8分 要使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立. 即对任意n∈N*都成立. ①当n为正奇数时.由(*)式得. 即. ∵2n+1-1>0.∴对任意正奇数n都成立. 当且仅当n=1时.有最小值1.∴λ<1. --10分 ①当n为正奇数时.由(*)式得. 即. ∵2n+1-1>0.∴对任意正奇数n都成立. 当且仅当n=1时.有最小值1.∴λ<1. --10分 ②当n为正偶数时.由(*)式得. 即. ∵2n-1>0.∴对任意正偶数n都成立. 当且仅当n=2时.有最小值1.5.∴λ<1.5. --12分 综上所述.存在常数λ.使得bn-λSn>0对任意n∈N*都成立.λ的取值范围是. --14分

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