Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的两根，设c_n=

an

3n

，且a₁=1．
（I）求数列{c_n}的通项公式；
（II）设S_n是数列{a_n}的前〃项的和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N都成立，若存在，求出A的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由于a_n，a_n+1是关于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的两根，所以

an+an+1=3n bn=an•an+1

从而得出数列{cn-

1

4

} 是首项为

1

12

，公比为-

1

3

的等比数列，故可求{c_n}的通项公式；
（II） 要使b_n-λS_n＞0，对?n∈N^*都成立，下面对n进行分类讨论：①当n为正奇数时，②当n为正偶数时，分别求得λ的取值范围，最后综上所述得到，存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对?n∈N^*都成立，λ的取值范围．

解答：解：（I）由于a_n，a_n+1是关于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的两根，所以

an+an+1=3n bn=an•an+1

，所以

an+1

3n+1

=-

1

3

•

an

3n

+

1

3

∵c_n=

an

3n

，∴cn+1=-

1

3

•cn+

1

3

，∴cn+1-

1

4

=-

1

3

•(cn-

1

4

)，又c1 -

1

4

=

1

12

，
所以列{cn-

1

4

} 是首项为

1

12

，公比为-

1

3

的等比数列，∴cn=

1

12

•(-

1

3

)n-1+

1

4

（II）由题意，an=3n•cn=

3n+(-1)n-1

4

，∴bn=

3n+(-1)n-1

4

•

3n+1+(-1)n

4

，Sn=

3n+1-(-1)n-2

8

①当n为正奇数时，由上式得λ＜

3n+1

2

对任意正奇数n都成立，∴λ＜2
②当n为正偶数时，由上式得λ＜

3n+1+1

6

对任意正偶数n都成立，∴λ＜

14

3

综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围为λ＜2

点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．