Question

（2012•湖南模拟）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0，(n∈N*)的两根，且a₁=1
（1）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设函数f(n)=bn-t•sn(n∈N*)，若f（n）＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）确定数列的同学，分组求和，可得结论；
（3）关键b_n=a_n•a_n+1，b_n-tS_n＞0，可得不等式，分类讨论，可求t的取值范围．

解答：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，∴an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

•2n)
∴

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1
∴数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）解：∵a₁=1，∴a1-

2

3

=

1

3

，   q=-1∴an=

1

3

[2n-(-1)n]
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n

= 1 3 [(2+22+…+2n)-((-1)+(-1)2+…+(-1)n)]= 1 3 [ 2(1-2n) 1-2 - (-1)(1-(-1)n) 1+1 ]

=

1

3

[2n+1-2-

-1+(-1)n

2

]；
（3）解：∵b_n=a_n•a_n+1，∴bn=

1

9

[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2)n-1]＞0
∵b_n-tS_n＞0，∴

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-t•

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0
∴当n为奇数时，

1 9 [22n+1+2n-1]- t 3 (2n+1-1)＞0∴t＜ 1 3 (2n+1)

，∵n为奇数，∴t＜1；
当n为偶数时，

1 9 [22n+1-2n-1]- t 3 (2n+1-2)＞0

，∴

1

9

[22n+1-2n-1]-

2t

3

(2n-1)＞0
∴t＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，∴t＜

3

2

综上所述，t的取值范围为t＜1．

点评：本题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．