Question

（2011•浙江模拟）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用一元二次方程的根与系数的关系和a₁=1即可求出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的关系式和等比数列的定义即可证明．

解答：（Ⅰ）解：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

，
∵a₁=1，
∴a₂=1，a₃=3，a₄=5．
（Ⅱ）证明：∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．   
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]．

点评：熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的定义是解题的关键．