Question

设函数f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2（a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2的导函数f'（x），再将“f（x）在[1，2]上单调递减”等价转化为f'（x）≤0在[1，2]恒成立问题，最后将恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得实数a的取值范围
（2）由（1）得a=2，先将“方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根”，转化为

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3个不同根，再转化为函数g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m有三个零点问题，然后利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，利用函数性质列关于m的不等式，即可解得m的范围

解答：解：（1）依题意得：f'（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减
∴f'（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：当x=1时，a∈R当x≠1时，2a≤

x2

x-1

在（1，2]恒成立
记g(x)=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2则g_min（x）=4
∴只须a≤2
综上，a≤2
（2）当a=2时，方程f（x）=x²-7x-m有3个不同根等价于

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3个不同根
记g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m则g'（x）=x²-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减
∴g_极小（x）=g（3）=-7-mg极大(x)=g(-1)=

11

3

-m
要使

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3个不同根
只须

g极小(x)=g(3)=-7-m＜0 g极大(x)=g(-1)= 11 3 -m＞0

得-7＜m＜

11

3

点评：本题综合考察了导数在函数单调性中的应用，导数在函数零点存在性和零点个数中的应用，不等式恒成立问题的解决方法