Question

函数f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在区间(-

1

2

，0)内单调递增，则a的取值范围（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1)
• B．[

  3

  8

  ，1)
• C．(

  1

  2

  ，1)
• D．(1，

  9

  8

  )

Answer 1

分析：将函数看作是复合函数，令g（x）=x³-2ax+2a-1，将函数f（x）的单调性问题转化为g（x）恒大于零且g′（x）恒正、恒负问题，通过分类讨论，解决不等式恒成立问题即可得a的范围

解答：解：设g（x）=x³-2ax+2a-1=（x-1）（x²+x+1-2a），g′（x）=3x²-2a
当a∈（0，1）时，函数f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在区间(-

1

2

，0)内单调递增，等价于g（x）在区间（-

1

2

，0）内单调递减且g（x）＞0在区间（-

1

2

，0）内恒成立
∴g′（x）≤0在区间（-

1

2

，0）内恒成立且g（x）＞0在区间（-

1

2

，0）内恒成立
∴3x²-2a≤0恒成立且g（0）≥0
只需

3× 1 4 -2a≤0 2a-1≥0

，解得a≥

1

2

，∴

1

2

≤a＜1
当a∈（1，+∞）时，函数f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在区间(-

1

2

，0)内单调递增，等价于g（x）在区间（-

1

2

，0）内单调递增且g（x）＞0在区间（-

1

2

，0）内恒成立
∴g′（x）≥0在区间（-

1

2

，0）内恒成立且g（x）＞0在区间（-

1

2

，0）内恒成立
∴3x²-2a≥0恒成立且g（-

1

2

）≥0
由于x=0时，3x²-2a=-2a＜0，故上式不可能恒成立，故a∈（1，+∞）不合题意
综上所述：

1

2

≤a＜1
故选A

点评：本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，对数函数的性质，分类讨论和转化化归的思想方法，解题时一定要注意函数的定义域．