Question

设函数f（x）=2ax-bx²+lnx．给出下列条件，条件A：f（x）在x=1 和x=

1

2

处取得极值；条件B：b=a
（Ⅰ）在A条件下，求出实数a，b的值；
（Ⅱ） 在A条件下，对于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，求实数c的最小值；
（Ⅲ） 在B条件下，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可得函数的定义域为（0，+∞），然后对函数求导可得f′(x)=2a-2bx+

1

x

，由f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，可得f′（1）=0，f′(

1

2

)=0，代入可求a，b的值
（Ⅱ） 对于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由（I）可得f′(x)=-3+2x+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，进而可确定函数的f（x）在[

1

e

，3]上的极大值，然后通过比较极大值与端点值比较求解函数的最大值，从而可求c的取值范围
（Ⅲ） 当a=b时，可得f′(x)=

-2ax2+2ax+1

x

由f（x）在（0，+∞）上是单调函数，可得
x＞0，-2ax²+2ax+1≥0或-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，结合函数的知识进行求解

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2ax-bx²+lnx，定义域为（0，+∞）
f′(x)=2a-2bx+

1

x

  …（1分）
f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，
∴f′（1）=0，f′(

1

2

)=0…（2分）
即

2a-2b+1=0 2a-b+2=0

解得

a=- 3 2 b=-1

此时，f′(x)=-3+2x+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

可看出f′（1）=0，f′（2）=0且f′（x）在x=1和x=

1

2

两侧均为异号，符合极值条件
∴所求a，b的值分别为-

3

2

，-1…（4分）
（Ⅱ） 对于在[

1

e

，3]上的任意x₀，不等式f（x₀）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由f′(x)=-3+2x+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

∴当x∈[

1

e

，

1

2

]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

e

，

1

2

]上是单调递增
当x∈[

1

2

，1]时； f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]上单调递减
当x∈[1，3]时； f′（x）＞0，故f（x）在[1，3]上单调递增
∴f(

1

2

)是f（x）在[

1

e

，3]上的极大值…（6分）
而f(

1

2

)=-

3

2

+

1

4

+ln

1

2

=-

5

4

-ln2＜0，f（3）=-3-3+3²+ln3=ln3＞0…（8分）
∴[f（x）]_max=f（3）=ln3
∴c的取值范围为[ln3，+∞），所以c得最小值为ln3…（9分）
（Ⅲ） 当a=b时，f′(x)=

-2ax2+2ax+1

x

①当a=0时，f(x)=

1

x

，则f（x）在（0，+∞）上单调递增…（10分）
②x＞0要使-2ax²+2ax+1≥0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，
则

a＜0 g( 1 2 )≥0

，即

a＜0 - 1 2 a+a+1≥0

，解得-2≤a＜0…（12分）
③x＞0要使-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，

a＞0 g( 1 2 )≤0

，即

a＞0 - 1 2 a+a+1≤0

 无解
综上可知a的取值范围为-2≤a≤0…（14分）

点评：（1）若函数在某点取得极值则该店的导数为0是导数最基本的考查
（2）函数的恒成立问题常转化为求解函数的最值问题，结合导数的知识可求
（3）由函数单调求解参数的问题常结合函数的知识，体现了分类讨论与转化的思想在解题中的应用．