Question

设函数f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为-

16

3

，则f（x）在该区间上的最大小值是

10

3

．

Answer 1

分析：由f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减，由f（x）在x∈[1，4]上的最小值为-

16

3

，知f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，故a=1．由此能求出f（x）在该区间上的最大值．

解答：解：f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，
当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减
∵f（x）在x∈[1，4]上的最小值为-

16

3

，
∴f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}
=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，
∴a=1
∴f（x）在该区间上的最大值=f（2）=

10

3

．
故答案为：

10

3

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．