题目内容

18．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，万有引力常量为G． 
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量． 
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体． 
a．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M； 
b．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、m2的质点相距为r时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为Ep=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？

分析 （1）根据爱因斯坦质能方程求出合并释放的能量．
（2）a、根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出黑洞的质量M．
b、抓住临界状态，即黑洞第二宇宙速度等于光速，物体脱离黑洞时速度恰好为0，结合能量守恒定律求出半径R的最大值．

解答 解：（1）由题目叙述可知，两个黑洞合并时类似于发生核聚变反应，所释放的能量来源于质量亏损，
根据爱因斯坦质能方程得，△E=△mc2=（26+39-62）${M}_{0}•{c}^{2}$=$3{M}_{0}{c}^{2}$．
（2）a、由题目条件可知，质量很小的恒星在其做圆周运动的轨道中心的黑洞吸引力下运动，则万有引力提供恒星运动的向心力，设恒星质量为m，则有：
$G\frac{Mm}{{{r}_{0}}^{2}}=m{r}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{0}}^{3}}{G{T}^{2}}$．
b、这里需要阅读前面关于黑洞的解释，黑洞密度大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，物体想要逃离黑洞的，至少要达到黑洞的第二宇宙速度，根据题目叙述可知，黑洞的第二宇宙速度大于等于光速，物体脱离黑洞是指在黑洞产生的引力场中到达无穷远时速度依然大于等于0，对于临界情况（黑洞第二宇宙速度等于光速，物体脱离黑洞时速度恰好为0），由能量守恒定律可知，
$\frac{1}{2}m{c}^{2}+（-G\frac{M′m}{R}）=0$，
解得$R=\frac{2GM′}{{c}^{2}}$．
答：（1）此次合并所释放的能量为$3{M}_{0}{c}^{2}$．
（2）a、黑洞的质量M为$\frac{4{π}^{2}{{r}_{0}}^{3}}{G{T}^{2}}$；
b、其半径R最大不能超过$\frac{2GM′}{{c}^{2}}$．

点评 该题结合黑洞的物理现象考查万有引力定律的应用，并能够与爱因斯坦质能方程相结合，有较好的创新型，是一道理论联系实际的好题．

练习册系列答案
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8．在探究“恒力做功和物体动能变化之间的关系”的实验中，某同学的实验设计方案如图所示．则：
（1）实验中，除位移、速度外，还要测出的物理量有小车的质量 和钩码的质量；
（2）该实验用钩码的重力表示小车受到的合外力，在安装时首先要平衡摩擦力，其次钩码的质量需满足远小于小车的质量．（选填“等于”“远大于”“远小于”）．
9．如图所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，杆与水平方向的夹角α=30°，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h．让圆环沿杆由静止滑下，滑到杆的底端时速度恰为零．则在圆环下滑过程中（　　）
A．圆环和地球组成的系统机械能守恒
B．弹簧的最大弹性势能为mgh
C．当弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大
D．弹簧转过60°角时，圆环的动能为$\frac{mgh}{2}$
6．关于斜抛运动，下列说法中错误的是（　　）
A．斜抛运动是曲线运动B．斜抛运动是直线运动
C．斜抛运动的最高点的速度为零D．斜抛运动是匀变速运动
13．某物理兴趣小组想测定一电阻Rx约为6Ω的金属丝的电阻率，除刻度尺和螺旋测微器外，实验室可供选用的器材还有：
A．电流表（量程为0.6A，内阻约为0.25Ω）
B．电流表（量程为3A，内阻约为0.05Ω）
C．电压表（量程为3V，内阻约为3kΩ）
D．电压表（量程为15V，内阻约为15kΩ）
E．滑动变阻器R（0～15Ω，允许通过的最大电流为1A）
F．蓄电池（电动势均为4V，内阻约为0.1Ω）
G．开关一个，导线若干．
（1）为了减小实验误差，实验时要求电表指针的偏转均超过其量程的$\frac{1}{3}$，请完成图甲中虚线框内电路图的设计，并用相应的符号标注元件．
（2）某次测量时，电压表的示数U和电流表示数I分别如图乙、丙所示，则U=2.50V，I=0.40A．

（3）用刻度尺测出接入电路的金属丝的长度L=0.300m，用螺旋测微器测得金属丝直径d的示数如图丁所示，则d=0.160mm．
（4）根据以上时间，可得该金属丝的电阻器ρ=4.2×10-7Ω•m（结果保留两位有效数字）．
3．我校开展学生自己动手进行实验操作的活动．同学们现要测定电阻Rx的阻值（电阻值约为100Ω）以及一节干电池的电动势和内阻（内阻约为2Ω），除此之外还备有如下器材：
A．电压表V：量程为2V、内阻较大
B．电阻箱R1：总阻值为9999.9Ω
C．开关、导线若干

（1）为了较准确地测定Rx的电阻值、电池的电动势和内阻，王华同学选择如图1所示的电路．
（2）王华同学根据电路图连接实物图后，测定电阻Rx时主要进行了两步实验．
第1步：闭合S1和S3，断开S2，记录电压表示数U1；
第2步：闭合S1和S2，断开S3，调节R1使电压表示数仍为U1，记录此时R1的阻值r2，
则被测电阻Rx的电阻值为r2．（3）通过改变电路的总电阻，记录外电阻的总电阻值R和对应情况下的电压表示数U，画出$\frac{1}{U}$随$\frac{1}{R}$变化的图线为直线，如图2所示，直线与纵轴的交点坐标为b、斜率为k，则电源电动势为$\frac{1}{b}$，内阻为$\frac{k}{b}$．
10．某同学想测出银川当地的重力加速度g．为了减小误差，他设计了一个实验如下：将一根长直铝棒用细线悬挂在空中（如图甲所示），在靠近铝棒下端的一侧固定电动机M，使电动机转轴处于竖直方向，在转轴上水平固定一支特制笔N，借助转动时的现象，将墨汁甩出形成一条细线．调整笔的位置，使墨汁在棒上能清晰地留下墨线．启动电动机待转速稳定后，用火烧断悬线，让铝棒自由下落，笔在铝棒上相应位置留下墨线．
图乙是实验时在铝棒上所留下的墨线，将某条合适的墨线A作为起始线，此后每隔4条墨线取一条计数墨线，分别记作B、C、D、E．将最小刻度为毫米的刻度尺的零刻度线对准A，此时B、C、D、E对应的刻度依次为14.68cm、39.15cm、73.41cm、117.46cm．
已知电动机的转速为3 000r/min．求：
（1）相邻的两条计数墨线对应的时间间隔为0.1s．
（2）由实验测得银川当地的重力加速度约为9.79m/s2．（结果保留三位有效数字）
7．如图所示，质量为m的物块置于质量为M的斜面上，物块和斜面都处于静止状态，给物块施加一水平向右的恒力F，物块和斜面仍处于静止状态，则（　　）
A．施加恒力后，物块与斜面间的弹力保持不变
B．施加恒力后，地面与斜面的支持力小于（M+m）g
C．施加恒力后，物块与斜面间的摩擦力变小
D．施加恒力后，地面与斜面间的摩擦力大小为F
8．关于分子间作用力和分子势能，下列叙述正确的是（　　）
A．分子间距增大时，分子间引力和斥力都减小
B．分子间距离减小时，分子间引力和斥力都增大
C．物体的体积减小时，内部分子势能可能减小
D．一个物体在分子间显引力时分子势能一定比显斥力时分子势能要多
E．当温度升高时，分子间的分子势能一定减小

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