题目内容

7．如图（a）所示，平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距L=0.5m，导轨左端M、P 间接有一阻值R=0.2Ω的定值电阻，导体棒ab质量m=0.1kg，与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端为d=1.0m处，导轨和导体棒始终接触良好，电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t=0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度B随时间t的变化如图（b）所示，不计感应电流磁场的影响．取重力加速度g=10m/s2．

（1）求t=0时棒所受到的安培力F0；
（2）分析前3s时间内导体棒的运动情况并求前3s内棒所受的摩擦力f随时间t变化的关系式；
（3）若t=3s时，突然使ab棒获得向右的速度v0=8m/s，同时垂直棒施加一方向水平、大小可变化的外力F，使棒的加速度大小恒为a=4m/s2、方向向左．求从t=3s到t=4s的时间内通过电阻的电量q．

分析 （1）由图b的斜率求出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势，由欧姆定律求解感应电流的大小，即可求得安培力的大小．
（2）前3s内ab棒不动，在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，由平衡条件和安培力公式求解．
（3）t=3s后，ab棒做匀变速运动，由运动学公式求出t=3s到t=4s的时间内棒通过的位移，再由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求解电量．

解答 解：（1）由图b知：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{0.2}{2}$=0.1T/s
t=0时棒的速度为零，故回路中只有感生感应势为：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$Ld=0.1×0.5×1V=0.05V
 感应电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.05}{0.2}$A=0.25A
可得t=0时棒所受到的安培力：F0=B0IL=0.025N；

（2）ab棒与轨道间的最大摩擦力：fm=μmg=0.1×0.1×10N=0.1N＞F0=0.025N
所以在t=0时刻棒静止不动，加速度为零，这以后磁感应强度B都小于B0，棒所受的安培力都小于最大静摩擦力，故前3s内导体棒静止不动，电流恒为I=0.25A
在0-3s内，磁感应强度为：B=B0-kt=0.2-0.1t
因导体棒静止不动，ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，有：
 f=BIL=（B0-kt）IL=（0.2-0.1t）×0.25×0.5N=0.0125（2-t）N（t＜3s）；

（3）3s-4s内磁感应强度大小恒为 B2=0.1T，ab棒做匀变速运动，△t2=4s-3s=1s
设t=4s速度大小为v，位移为x，则：v=v0-a△t=4m/s
x=$\frac{{v}_{0}+v}{2}△$t=6m
在这段时间内的平均电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△{t}_{2}}$
通过电阻的电量为：q=$\overline{I}△{t}_{2}$=$\frac{\overline{E}}{R}△{t}_{2}$=$\frac{{B}_{2}Lx}{R}$=1.5C．
答：
（1）t=0时棒所受到的安培力F0是0.025N．
（2）前3s内导体棒静止不动，前3s内棒所受的摩擦力f随时间t变化的关系式为f=0.0125（2-t）N（t＜3s）．
（3）从t=3s到t=4s的时间内通过电阻的电量q是1.5C．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要正确分析导体棒的受力情况和能量转化的情况，熟练推导出安培力与速度的关系，感应电量与磁通量变化的关系，正确把握功和能的关系．

练习册系列答案
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