Question

18．据报道，我国将于2016年择机发射“天宫二号”，并计划于2020年发射“火星探测器”．设“天宫二号”绕地球做圆周运动的半径为r₁、周期为T₁；“火星探测器”绕火星做做圆周运动的半径为r₂、周期为T₂，万有引力常量为G．根据题设条件可得（　　）

• A． 关系式$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• B． 地球与火星的平均密度之比为$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• C． 地球与火星的质量之比为$\frac{{{r}_{1}}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{2}}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$
• D． “天宫二号”和“火星探测器”的向心加速度大小之比为$\frac{{r}_{1}{{T}_{2}}^{2}}{{r}_{2}{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力列式，可求得地球和火星的质量．由于地球和火星本身的半径未知，是不能求出地球的密度的．根据圆周运动的向心加速度公式求向心加速度之比

解答 解：A、根据开普勒第三定律，“天宫二号”和“火星探测器”不是围绕同一个中心天体运动，所以有$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}≠\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，故A错误；
B、因为地球和火星的半径不知道，所以无法算出地球和火星的体积，所以地球和火星的平均密度无法求，故B错误
C、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得中心天体的质量为$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，
“天宫二号”绕地球做圆周运动的半径为r₁、周期为${T}_{1}^{\;}$，地球质量为${M}_{地}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
“火星探测器”绕火星做做圆周运动的半径为r₂、周期为${T}_{2}^{\;}$，火星质量为${M}_{火}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
所以有$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{3}{T}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{3}{T}_{1}^{2}}$，故C正确；
D、根据圆周运动知识，向心加速度$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
“天宫二号”的向心加速度大小${a}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
“火星探测器”的向心加速度大小${a}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
“天宫二号”和“火星探测器”的向心加速度大小之比为$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}{T}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{\;}{T}_{1}^{2}}$，故D正确
故选：CD

点评 解决本题的关键要明确卫星的运动模型，知道由万有引力提供其圆周运动向心力．本题也可以根据开普勒第三定律分析周期的大小．