Question

20．如图所示，ABCD竖直放置的光滑绝缘细管道，其中AB部分是半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形管道，BCD部分是固定的水平管道，两部分管道恰好相切于B．水平面内的M、N、B三点连线构成边长为L等边三角形，MN连线过C点且垂直于BCD．两个带等量异种电荷的点电荷分别固定在M、N两点，电荷量分别为+Q和-Q．现把质量为m、电荷量为+q的小球（小球直径略小于管道内径，小球可视为点电荷），由管道的A处静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到B处时受到电场力的大小；
（2）小球运动到C处时的速度大小；
（3）小球运动到圆弧最低点B处时，小球对管道压力的大小．

Answer 1

分析 （1）根据库仑定律，结合平行四边形定则求出小球运动到B处时受到的电场力大小．
（2）小球在管道中运动时，小球受到的电场力和管道对它的弹力都不做功，只有重力对小球做功，根据机械能守恒定律求出C点的速度．
（3）根据牛顿第二定律求出小球在B点竖直方向上的分力，结合库仑定律求出水平方向上的分力，从而根据平行四边形定则求出在B点受到的弹力大小．

解答 解：（1）设小球在圆弧形管道最低点B处分别受到+Q和-Q的库仑力分别为F₁和F₂．则${F_1}={F_2}=k\frac{qQ}{L^2}$    ①
小球沿水平方向受到的电场力为F₁和F₂的合力F，由平行四边形定则得F=2F₁cos60°   ②
联立①②得$F=k\frac{qQ}{L^2}$     ③
（2）管道所在的竖直平面是+Q和-Q形成的合电场的一个等势面，小球在管道中运动时，小球受到的电场力和管道对它的弹力都不做功，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，有$mgR=\frac{1}{2}mv_C^2-0$     ④
解得${v_C}=\sqrt{2gR}$     ⑤
（3）设在B点管道对小球沿竖直方向的压力的分力为N_By，在竖直方向对小球应用牛顿第二定律得${N}_{By}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$  ⑥
v_B=v_C ⑦
联立⑤⑥⑦解得N_By=3mg⑧
设在B点管道对小球在水平方向的压力的分力为N_Bx，则${N_{Bx}}=F=k\frac{qQ}{L^2}$⑨
圆弧形管道最低点B处对小球的压力大小为${N_B}=\sqrt{N_{Bx}^2+N_{By}^2}=\sqrt{9{m^2}{g^2}+{{（k\frac{qQ}{L^2}）}^2}}$．⑩
由牛顿第三定律可得小球对圆弧管道最低点B的压力大小为${N'_B}={N_B}=\sqrt{9{m^2}{g^2}+{{（k\frac{qQ}{L^2}）}^2}}$．
答：（1）小球运动到B处时受到电场力的大小为$k\frac{Qq}{{L}^{2}}$；
（2）小球运动到C处时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（3）小球运动到圆弧最低点B处时，小球对管道压力的大小为$\sqrt{9{m}^{2}{g}^{2}+（k\frac{qQ}{{L}^{2}}）^{2}}$．

点评 此题属于电场力与重力场的复合场，关键是根据机械能守恒和功能关系进行判断．要注意到电场力与重力、支持力不在同一条直线上．