Question

4．人们曾设想用碳纳米材料建筑一座从地面直达太空的“太空电梯”．假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星的“太空电梯”．已知地球半径为R，自转周期为T，表面重力加速度为g，下面说法正确的是（　　）

• A． “太空电梯”上各处角速度相同
• B． 乘“太空电梯”匀速上升时乘客对电梯压力逐渐减少
• C． 乘“太空电梯”匀速下降时乘客对电梯压力逐渐减少
• D． “太空电梯”长度为 L=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$

Answer 1

分析 由于太空电梯是从地面连接到地球同步飞船上，而地球是在不停的转动的，它们要保持相对的静止必须有相同的角速度，再根据各点随地球一起做匀速圆周运动可以判断各点的情况．

解答 解：A、太空电梯和地球要保持相对的静止必须由相同的角速度，所以A正确；
BC、人所受万有引力和电梯对人的支持力的合力提供圆周运动向心力，即$G\frac{mM}{{r}^{2}}-N=mr{ω}^{2}$可得随着高度增加，电梯对人的支持力逐渐减小，故B正确，C错误；
D、“太空电梯”长度即为同步卫星离地面的高度，根据万有引力提供向心力$\frac{GmM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
由以上二式可以解得同步卫星离地面的高度h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，故D错误．
故选：AB．

点评 由于太空电梯直接从地面连到了地球同步飞船上，它们的角速度是相同的，这是本题的隐含的条件，抓住这个条件即可解答本题．