Question

9．如图所示，固定光滑斜面体倾角为37°，CDE为竖直面内的光滑圆弧轨道，一小球从斜面的底端A点，以初速度v₀=4$\sqrt{3}$m/s沿斜面向上滚动，离开斜面体后刚好从圆弧轨道的C点无碰撞地进人圆弧轨道，已知斜面顶点B比C点高h=0.152m，斜面的长为L=1m，小球的质量为1kg，g取10m/s²，$\sqrt{61}$=7.81，求：
（1）圆弧轨道的半径；
（2）试分析小球进入圆弧轨道后恰好能运动到与圆弧圆心0等高处，则小球在圆弧轨道内克服摩擦力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）小球从A到B做匀减速运动，从B到C做斜抛运动，分别由动能定理求出B点和C点的速度，将B点速度分解求出水平速度，在C点利用速度的分解和几何关系联立可求圆弧轨道的半径；
（2）因为在C点无机械能损失，所以全过程用动能定理可求小球在圆弧轨道内克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）从A到B，由动能定理可得：-mgLsin37°=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$    ①
物体经过B点飞出后做斜抛运动，其水平速度为：v_x=v_Bcos37°     ②
从A到C，由动能定理可得：-mg（Lsin37°-h）=$\frac{1}{2}$m${v}_{c}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$        ③
设∠COD的夹角为θ，在C点将速度v_C分解可得：cosθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{c}}$          ④
又由几何关系有：（Lsin37°-h）=R（1-cosθ）                     ⑤
联立①②③④⑤解得：R=1.93m．                             ⑥
（2）小球进入圆弧轨道后恰好能运动到与圆弧圆心0等高处，即在等高处的速度为0，因为在C点无机械能损失，所以对全过程：
由动能定理可得：-mgR-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv₀^{2 ⑦}
代入数据解得：W_f=4.7J                                    ⑧
 答：（1）圆弧轨道的半径为1.93m；
（2）小球在圆弧轨道内克服摩擦力做功为4.7J．

点评 本题考查动能定理、斜抛运动和圆周运动等知识的综合运用，解答此题时要认真分析物体的运动过程，使用动能定理是可以全过程，也可以分过程，还要注意题干给定的条件：“离开斜面体后刚好从圆弧轨道的C点无碰撞地进人圆弧轨道”、“小球进入圆弧轨道后恰好能运动到与圆弧圆心0等高处”的含义．