Question

19．如图所示，长直水平轨道PC与光滑圆弧轨道CDE平滑连接．轻质弹簧一端系于固定立柱上，另一端系住物块B，与圆弧末端E相距R处的一挡板N平行于OE放置．开始时，向右压B使弹簧缩短x₀后锁定，光滑弹性小球A紧贴B静置．现解除锁定，A、B一起运动至位置Q分离，然后小球A继续沿轨道运动并恰能通过最高点D．已知：小球A、物块B均视为质点，质量均为m，圆弧半径为R，弹簧劲度系数为k，物块与水平轨道的动摩擦因数为μ，OE连线与竖直方向的夹角为θ=60^o．求：

（1）解除锁定至A、B分离过程中A运动的距离；
（2）解除锁定至A、B分离过程中弹簧释放的弹性势能；
（3）当小球A从E点飞出时，立即对小球A施加一恒力，使小球能垂直打到挡板N上，求满足条件要求的所有恒力大小的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当B所受合力为零时，A、B分离，由胡克定律求出弹簧的压缩量，再得到A运动的距离．
（2）A恰好过最高点D，由重力提供向心力，由此可求得A通过D点时的速度．小球从Q到D机械能守恒，由此求得A、B分离时速度．再由能量守恒定律求弹簧释放的弹性势能．
（3）满足题设要求，有下列3种情况：
①匀速打到板上，此时有F=mg．             
②匀加速打到板上，重力mg与F的合力应和速度方向相同．
③匀减速打到板上．由机械能守恒定律和力的合成法结合解答．

解答 解：（1）当B所受合力为零时，A、B  分离，设此时弹簧的压缩量为△x
有：k•△x=μmg                  
A  运动的距离：s=x₀-△x       
解得：s=x₀-$\frac{μmg}{k}$                
（2）A恰好过最高点D，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$             
设A、B  分离时速度为v_Q，小球从Q到D机械能守恒，
即有：$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$                           
弹簧释放过程由能量守恒有：△E_p=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{Q}^{2}$+μmgs         
解得：△E_p=5mgR+μmg（x₀-$\frac{μmg}{k}$）         
（3）要满足题设要求，有下列3种情况：
①匀速打到板上，此时有F=mg                
②匀加速打到板上，重力mg与F的合力应和速度方向相同，
当F  与速度垂直时F最小，如图所示，

则：F_min=mgsin30°
即F_min=$\frac{1}{2}$mg                                           
该范围为 F≥$\frac{1}{2}$mg                                        
③匀减速打到板上，
设小球从E点飞出速度为v_E，从D到E机械能守恒，
有：$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+mgR（1-cos60°）
得  v_E=$\sqrt{2gR}$
设匀减速运动的加速度大小为a，应有：${v}_{N}^{2}$-${v}_{E}^{2}$=-2aR
要使小球能够打到N板，v_N≥0
可得：a≤g
即小球受到与速度相反方向的合力 F_合≤mg      
该临界状态时力的矢量关系如图所示，

有 F≤2mgcos15°                      
得：F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg
或者  F≤$\sqrt{2（mg）^{2}-2（mg）^{2}cos150°}$
得 F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg
该范围为$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg或$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg
答：
（1）解除锁定至A、B分离过程中A运动的距离是x₀-$\frac{μmg}{k}$；
（2）解除锁定至A、B分离过程中弹簧释放的弹性势能是5mgR+μmg（x₀-$\frac{μmg}{k}$）；
（3）满足条件要求的所有恒力大小的取值范围是$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg或$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg．

点评 分析清楚物体的运动情况，抓住临界条件，判定能量是如何转化的是解决本题的关键．第3小题考虑问题要全面，不要漏解．