Question

19．质量为m的小球系在轻杆一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力作用．某时刻，小球通过轨道最低点，轻杆对球的拉力大小为7mg，此后小球做圆周运动，经过半周到达最高点时，杆对球的作用力大小为$\frac{1}{2}$mg，则在这半周中小球克服空气阻力所做的功可能是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$mgR
• B． $\frac{1}{2}$mgR
• C． $\frac{3}{4}$mgR
• D． mgR

Answer 1

分析 根据杆对球的作用力，通过牛顿第二定律求得求得速度，然后对球从最低点到最高点的运动过程应用动能定理即可求解．

解答 解：在最低点，竖直方向上小球的合外力做向心力，方向向上，故轻杆对球的拉力方向向上，小球的向心力为：
${F}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}=7mg-mg=6mg$；
在最高点，竖直方向上小球的合外力做向心力，方向向下，故若杆对球的作用力向下，那么向心力为：${F}_{2}=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}=\frac{3}{2}mg$
若杆对球的作用力向上，那么向心力为：${F}_{2}'=\frac{m{{v}_{2}}'^{2}}{R}=\frac{1}{2}mg$；
那么对小球从最低点运动到最高点的过程中，杆对球的作用力与速度方向垂直，不做功，故只有重力和阻力做功，故由动能定理可得这半周中小球克服空气阻力所做的功为：
$W=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-2mgR=\frac{1}{4}mgR$
或为：$W'=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}'^{2}-2mgR=\frac{3}{4}mgR$
故AC正确，BD错误；
故选：AC．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．