题目内容

14．如图所示，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为370的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为$\frac{5}{6}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数?=$\frac{1}{4}$，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．则：
（1）求小物块从C点到达E点的过程中重力势能的减少量△EP；
（2）求E点到B点的距离x以及小物块P运动到E点时弹簧的弹性势能EP；
（3）改变小物块P的质量，将P推至E点，然后从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距$\frac{7}{2}$R、竖直相距R．求P运动到D点时速度的大小vD和物块P改变后的质量m’．

分析 （1）根据动能定理求得摩擦力做功的位移，进而求得CE，然后根据重力势能的表达式求解；
（2）由（1）根据几何关系得到x，然后对CE运动过程应用动能定理即可求解；
（3）根据几何关系求得平抛运动的位移，然后由平抛运动的位移公式求得vD，在对E到D过程应用动能定理即可求得m′．

解答 解：（1）小物块从C到E再到F的运动过程，弹簧弹力做功为零，故只有重力摩擦力做功，故由动能定理可得：mgCFsin37°-μmgcos37°（CE+EF）=0；
所以，0.6（AC-AF）=0.2（CE+EF）=0.2（2CE-CF）=0.2（2CE+AF-AC），所以，CE=2（AC-AF）=6R；
那么，小物块从C点到达E点的过程中重力势能的减少量△Ep=mgCEsin37°=3.6mgR；
（2）E点到B点的距离x=EB=AB-AE=AB-（AC-CE）=R；
对小物块从C到E的运动过程应用动能定理可得：小物块P运动到E点时弹簧的弹性势能Ep=mgCEsin37°-μmgcos37°CE=2.4mgR；
（3）P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，做平抛运动，故由位移公式$\frac{7}{2}R-rsin37°=3R={v}_{D}t$，$R+r+rcos37°=2.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
所以，${v}_{D}=\frac{3R}{t}=\frac{3R}{\sqrt{\frac{5R}{g}}}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$；
对P由E到D过程应用动能定理可得：${E}_{p}-m′g（CEsin37°+r+rcos37°）-μm′gcos37°CE=\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$；
所以，2.4mgR-5.1m′gR-1.2m′gR=0.9m′gR，故$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）小物块从C点到达E点的过程中重力势能的减少量△EP为3.6mgR；
（2）E点到B点的距离x为R，小物块P运动到E点时弹簧的弹性势能EP为2.4mgR；
（3）改变小物块P的质量，将P推至E点，然后从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距$\frac{7}{2}$R、竖直相距R．那么P运动到D点时速度的大小vD为$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$，物块P改变后的质量m’为$\frac{1}{3}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．

练习册系列答案
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