Question

19．如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在水平面上，导轨平面与水平面间的夹角为θ=37°，导轨间距为L=1m，与导轨垂直的两条边界线MN、PQ内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀=1T，MN与PQ间的距离为d=2m，两个完全相同的金属棒ab、ef用长为d=2m的绝缘轻杆固定成“工”字型装置，开始时金属棒ab与MN重合，已知每根金属棒的质量为m=0.05kg，电阻为R=5Ω，导轨电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，在t=0时，将“工”字型装置由静止释放，当ab边滑行至PQ处恰好开始做匀速运动，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）“工”字型装置开始做匀速运动时的速度是多少？
（2）“工”字型装置从静止开始，直到ef离开PQ的过程中，金属棒ef上产生的焦耳热是多少？
（3）若将金属棒ab滑行至PQ处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度由B₀=1T开始逐渐增大，可使金属棒中不产生感应电流，则t=0.5s时磁感应强度B为多大？

Answer 1

分析 （1）“工”字型装置开始做匀速运动时，受力平衡，根据平衡条件，以及安培力公式、法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求速度．
（2）从开始运动到匀速运动的过程中，金属棒重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热，根据能量守恒定律和能量分配关系求金属棒ef上产生的焦耳热．
（3）金属棒中不产生感应电流，回路的磁能量不变，金属棒不受安培力，做匀加速运动，由此列式求t=0.5s时磁感应强度B．

解答 解：（1）在达到稳定速度前，装置的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，做匀速运动时，有 
   2mgsinθ=B₀IL+2μmgcosθ
又 E=B₀Lv，I=$\frac{E}{2R}$
代入已知数据可得 v=2m/s
（2）从开始运动到匀速的过程中，根据能量守恒可得，重力势能减小转化为动能，摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热，则有
  2mgdsinθ=$\frac{1}{2}$•2mv²+2μmgdcosθ+Q₁；
解得 Q₁=0.2J
在匀速的过程中ef所受的安培力 F_安=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{2R}$ 
电路中上产生的热量 Q₂=F_安d
代入数据解得 Q₂=0.4J
金属棒ef上产生的焦耳热是 Q=$\frac{1}{2}$（Q₁+Q₂）=$\frac{1}{2}$×0.6J=0.3J
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒将沿导轨做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
  2mgsinθ-2μmgcosθ=2ma
解得 a=2m/s²．
t=0.5s内金属棒通过的位移为 x=vt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
代入数据解得 x=1.25m
设t时刻磁感应强度为B，则 B₀Ld=BL（d-x）
故t=0.5s时磁感应强度为 B=$\frac{8}{3}$T
答：
（1）“工”字型装置开始做匀速运动时的速度是2m/s．
（2）“工”字型装置从静止开始，直到ef离开PQ的过程中，金属棒ef上产生的焦耳热是0.3J．
（3）t=0.5s时磁感应强度B为$\frac{8}{3}$．

点评 本题要分析清楚金属杆运动过程，确定其受力情况，要知道不产生感应电流的条件是回路的磁通量不变．应用安培力公式、平衡条件、牛顿第二定律、能量守恒定律解题．