Question

4．如图所示，相距s=6m、质量均为m的木板A、B（A、B两木板完全相同）置于水平地面上，一质量为2m、可视为质点的物块C置于木板A的左端．已知物块C与木板A、B之间的动摩擦因数均为μ₁=0.22，木板A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.10，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，开始时，三个物体均处于静止状态．现给物块C施加一个水平方向右的恒力F，且F=0.4mg，已知木板A、B碰撞后立即粘连在一起，且碰后瞬间两者的速度为木板A碰前速度的一半．碰后瞬间C的速度不变．g=10m/s²，求：
（1）物块C开始运动时的加速度；
（2）从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间．
（3）已知木板A、B的长度均为L=0.6m，请通过分析计算后判断：物块C最终会不会从木板上掉下来？

Answer 1

分析 （1）设木板A与物块C之间的滑动摩擦力大小为f₁，木板A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f₂，根据f₁和f₂的关系判断知道A与B碰前A与C是一起向右做匀加速直线运动，设此过程中它们的加速度为a，根据牛顿第二定律求a．
（2）根据运动学位移公式列式，可求得从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间，以及A与木板B相碰时的速度υ．
（3）碰撞后瞬间，物块C的速度不变，根据牛顿第二定律求出物块C在木板上滑动的加速度，当三者的速度相同时，不掉下就不会掉下，根据运动学基本公式即可求解．

解答 解：（1）设木板A与物块C之间的滑动摩擦力大小为f₁，木板A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f₂，
有：f₁=2μ₁mg=0.44mg，f₂=μ₂（2mg+mg）=0.3Mg
可见f₂＜F＜f₁，故可知在木板A、B相碰前，在F的作用下，木板A与物块C一起水平向右做匀加速直线运动．
    设此过程中它们的加速度为a，由牛顿第二定律得
   F-f₂=（2m+m）a
解得 a=$\frac{0.1g}{3}$=$\frac{1}{3}m/{s}^{2}$
（2）设从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间为t，A与木板B相碰时的速度为υ，
有：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，υ=at
解得：t=6s，υ=2m/s．
（3）碰撞后瞬间，物块C的速度不变，设A、B碰后速度为υ'，即有 v′=$\frac{v}{2}$
此即木板A、B共同运动的初速度．
此后，物块C在木板上滑动时的加速度为：a_c=$\frac{F-{f}_{1}}{2m}$=-0.2m/s²．
物块C在木板上滑动时，木板A、B共同运动的加速度为：a_AB=$\frac{{f}_{1}-{f}_{2}^{′}}{2m}$
其中 f₂′=μ₂（2mg+2mg）=0.4mg
解得：a_AB=0.2m/s²．
若木板A、B很长，则物块C不会掉下来．设物块C再运动时间t₁后，三者的速度相同，有：υ+a_ct₁=$\frac{v}{2}$+a_ABt₁，
代入数据解得：t₁=2.5s
在此过程中，物块C的位移为：s_c=υt₁+$\frac{1}{2}$a_ct₁²．
解得  s_c=4.375m
木板A、B的位移为：s_AB=$\frac{v}{2}$t₁+$\frac{1}{2}$a_ABt₁²=3.125m
由于s_c-s_AB=1.25m＞L_A+L_B=1.2m，可见物块C最终会从木板上掉下来．
答：
（1）物块C开始运动时的加速度为$\frac{1}{3}m/{s}^{2}$．
（2）从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间t为6s．
（3）物块C最终会从木板上掉下来．

点评 本题的关键是通过受力分析，明确各个物体的运动情况，分段运用牛顿第二定律及运动学基本公式综合列式求解．