Question

5．如图所示，将质量m=1.0kg的小物块放在长L=3.0m的平板车左端，车的上表面粗糙，物块与车上表面间的动摩擦因数μ=0.6，光滑半圆形固定轨道与光滑水平轨道在同一竖直平面内，半圆形轨道的半径r=1.2m，直径MON竖直，车的上表面和轨道最低点高度相同，开始时车和物块一起以v₀=10m/s的初速度在水平轨道上向右运动，车碰到轨道后立即停止运动，取g=10m/s²，求：
（1）物块刚进入半圆形时速度大小；
（2）物块刚进入半圆形时对轨道的压力大小；
（3）物块回落至车上时距右端的距离．

Answer 1

分析 （1）对物块运动到M的过程应用动能定理求解；
（2）对物块在M点应用牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）根据机械能守恒求得物块在N点的速度，然后由平抛运动规律求解．

解答 解：（1）车碰到轨道后停止运动，物块在摩擦力作用下向右匀减速运动，物块从车的左端运动到M，只有摩擦力做功，故由动能定理可得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2μgL}=8m/s$，即物块刚进入半圆形时速度大小为8m/s；
（2）刚进入半圆轨道时，设物块受到的支持力为F_N，由牛顿第二定律得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{r}=\frac{190}{3}N$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力为$\frac{190}{3}N$，方向竖直向下；
（3）若物块能到达N点，物块从M到N只有重力做功，机械能守恒，故有$\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}+2mgr=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，所以，${v}_{N}=\sqrt{{{v}_{M}}^{2}-4gr}=4m/s$；
$\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{r}＞mg$，故物块从N点以v_N=4m/s做平抛运动落回小车上，那么由平抛运动规律可得：$2r=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，物块回落至车上时距右端的距离
若物块能到达半圆形轨道的最高点，则由机械能守恒可得$d={v}_{N}t=2{v}_{N}\sqrt{\frac{r}{g}}=1.6\sqrt{3}m$；
答：（1）物块刚进入半圆形时速度大小为8m/s；
（2）物块刚进入半圆形时对轨道的压力大小为$\frac{190}{3}N$，方向竖直向下；
（3）物块回落至车上时距右端的距离为$1.6\sqrt{3}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．