Question

15．如图，在竖直平面内有一固定的光滑轨道ABCD，其中AB是长为2R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的$\frac{3}{4}$圆弧轨道，两轨道相切于B点．在水平恒定拉力作用下，一质量为m的小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除拉力．已知小球经过最高点C时对轨道的压力大小恰好为零，重力加速度大小为g．求：
（1）小球在AB段运动时所受的拉力F；
（2）小球从D点运动到AB面所用的时间．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到达最高点，知弹力为零，结合牛顿第二定律求出最高点的速度，根据机械能守恒定律求出小球在B点的速度大小，然后结合动能定理即可求出拉力F．
（2）根据机械能守恒求出D点速度和到达地面的速度，结合速度时间公式求出运动的时间．

解答 解：（1）小球在C点有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
小球从B点运动到C点，根据机械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
小球在从A到B点的过程中，由动能定理有：$F•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：F=$\frac{5}{4}mg$
（2）设小球经过圆轨道后返后回到AB面时的速度为v，则v=v_B
小球从A点出发，经过B、C、到达D时的速度为v_D，对此过程应用动能定理有：
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-0=F×2R-mgR$
可得：${v}_{D}=\sqrt{3gR}$
小球从D点下落，回到AB面所用的时间为t，由运动学公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在AB段运动时所受的拉力是$\frac{5}{4}mg$；
（2）小球从D点运动到AB面所用的时间是$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒，运动学基本公式的直接应用，物体恰好通过C点是本题的突破口，这一点要注意把握，难度适中．