Question

3．如图所示，甲图是一圆形光滑轨道，半径为R，乙图是一开口向下的抛物线光滑轨道，与y轴交点为抛物面的顶点．现同时将质量为m的两个相同的小球分别从两轨道的顶点处由静止释放，在小球沿轨道运动直至落在水平面上的过程中，下列说法正确的是（已知重力加速度为g）（　　）

• A． 甲图中小球在轨道上下滑时加速度增大
• B． 甲图中小球离开轨道时的速度为$\sqrt{2gR}$
• C． 乙图中无论a、b取何值，小球一定能落到x=b的位置
• D． 两小球落在同一水平面上的速度大小一定相等

Answer 1

分析 根据小球沿轨道运动切线方向的加速度和向心加速度的变化，结合平行四边形定则得出甲图小球在轨道上下滑时的加速度变化．当小球离开轨道时，支持力为零，结合牛到第二定律和机械能守恒求出小球离开轨道时的速度．乙图中小球一定能落到x=b的位置，落在x轴时有水平分速度．

解答 解：A、甲图中小球在未离开轨道前做圆周运动，重力沿半径方向的分力和支持力的合力提供向心力，速度增大，则向心加速度增大，由于重力沿切线方向的分力逐渐增大，则切向加速度增大，根据平行四边形定则知，甲图中小球在轨道上下滑时的加速度增大，故A正确．
B、甲球先沿圆轨道运动，随着速度的增大，所需要的向心力增大，当轨道的支持力为零时球做离心运动，离开圆轨道后做斜下抛运动，不可能在x=R处．
设球离开圆轨道时半径与竖直方向的夹角为α．由机械能守恒定律得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
在离开圆轨道的位置，有 mgcosα=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，联立解得 cosα=$\frac{2}{3}$，v=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$，故B错误．
C、乙图轨道是抛物线，无论a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置，故C正确．
D、根据动能定理知，下降的高度不同，则两小球落在同一水平面上的速度大小不同，故D错误．
故选：AC．

点评 解决本题的关键要分析两球的运动过程，运用动能定理或机械能守恒定律和圆周运动的临界条件分析，有一定的难度．